Bài học Toán THPT - Hai Mặt Phẳng Song Song

📘 BÀI HỌC TOÁN 11: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Chương IV: Quan hệ song song trong không gian (Kết nối tri thức với cuộc sống)

📚 Nội dung bài học

1. Khái niệm & Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

📌 Định nghĩa hai mặt phẳng song song:

Hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Ký hiệu: \((P) \parallel (Q)\) hoặc \((Q) \parallel (P)\).

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt

Cho hai mặt phẳng phân biệt \((P)\) và \((Q)\). Có hai trường hợp xảy ra:

  • Cắt nhau: \((P)\) và \((Q)\) có điểm chung, khi đó giao tuyến là đường thẳng \(d\). Ký hiệu \((P) \cap (Q) = d\).
  • Song song: \((P)\) và \((Q)\) không có điểm chung. Ký hiệu \((P) \parallel (Q)\).
💡 Chú ý: Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng có vô số điểm chung, trường hợp này không được tính là song song.

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

📌 Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết):

Nếu mặt phẳng \((P)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a, b\) và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng \((Q)\) thì \((P)\) song song với \((Q)\).

Tóm tắt công thức điều kiện nhận biết:

\[ \begin{cases} a \subset (P), b \subset (P) \\ a \cap b = {I} \\ a \parallel (Q) \\ b \parallel (Q) \end{cases} \Rightarrow (P) \parallel (Q) \]
💡 Lưu ý quan trọng: Hai đường thẳng \(a\) và \(b\) nằm trong \((P)\) nhất định phải cắt nhau. Nếu \(a \parallel b\) thì không đủ điều kiện để suy ra \((P) \parallel (Q)\).

3. Các tính chất cơ bản & Định lí Thales

a) Tính chất qua một điểm ngoài mặt phẳng

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

b) Tính chất với đường thẳng song song mặt phẳng

Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((Q)\) thì qua \(a\) có duy nhất một mặt phẳng \((P)\) song song với \((Q)\).

c) Hệ quả về giao tuyến

Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến thu được song song với nhau.

\[ \begin{cases} (P) \parallel (Q) \\ (R) \cap (P) = a \\ (R) \cap (Q) = b \end{cases} \Rightarrow a \parallel b \]

d) Định lí Thales trong không gian

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Nếu ba mặt phẳng \((P), (Q), (R)\) đôi một song song cắt hai đường thẳng \(d_1, d_2\) lần lượt tại \(A, B, C\) và \(A', B', C'\) thì:

\[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} \]

4. Hình lăng trụ và Hình hộp

a) Hình lăng trụ

Cho hai mặt phẳng song song \((P)\) và \((P')\). Trên \((P)\) cho đa giác \(A_1A_2\dots A_n\). Qua các đỉnh này vẽ các đường thẳng song song với nhau cắt \((P')\) tại \(A'_1, A'_2, \dots, A'_n\).

Hình tạo bởi các hình bình hành \(A_1A_2A'_2A'_1, A_2A_3A'_3A'_2, \dots\) và hai đa giác đáy gọi là hình lăng trụ \(A_1A_2\dots A_n.A'_1A'_2\dots A'_n\).

  • Hai đa giác \(A_1A_2\dots A_n\) và \(A'_1A'_2\dots A'_n\) là hai đáy (nằm trên 2 mặt phẳng song song và bằng nhau).
  • Các đoạn thẳng \(A_1A'_1, A_2A'_2, \dots\) gọi là các cạnh bên (song song và bằng nhau).
  • Các mặt bên là các hình bình hành.

b) Hình hộp

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

  • Hình hộp có 6 mặt, tất cả đều là các hình bình hành.
  • Hai mặt không có đỉnh chung gọi là hai mặt đối diện (song song và bằng nhau).
  • Các đường nối hai đỉnh đối diện không cùng nằm trên một mặt gọi là đường chéo. 4 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Chứng minh hai mặt phẳng song song

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\) và \(SD\).

Chứng minh rằng: \((OMN) \parallel (SBC)\).

Lời giải:

• Trong tam giác \(SAC\), \(M\) là trung điểm \(SA\) và \(O\) là trung điểm \(AC\) nên \(MO\) là đường trung bình của \(\triangle SAC\). Suy ra \(MO \parallel SC\).

Mà \(SC \subset (SBC)\) nên \(MO \parallel (SBC)\) (1).

• Trong tam giác \(SDB\), \(N\) là trung điểm \(SD\) và \(O\) là trung điểm \(BD\) nên \(NO\) là đường trung bình của \(\triangle SDB\). Suy ra \(NO \parallel SB\).

Mà \(SB \subset (SBC)\) nên \(NO \parallel (SBC)\) (2).

• Trong mặt phẳng \((OMN)\), hai đường thẳng \(MO\) và \(NO\) cắt nhau tại \(O\) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \((OMN) \parallel (SBC)\) (đpcm).

Ví dụ 2 Ứng dụng tính chất giao tuyến

Cho hai mặt phẳng song song \((P)\) và \((Q)\). Mặt phẳng \((R)\) cắt \((P)\) theo giao tuyến \(a\). Chứng minh rằng \((R)\) cũng cắt \((Q)\) theo giao tuyến \(b\) và \(a \parallel b\).

Lời giải:

Lấy điểm \(A \in a \subset (P)\). Vì \((P) \parallel (Q)\) nên điểm \(A \notin (Q)\). Mặt phẳng \((R)\) chứa \(A\) nên \((R)\) có điểm chung với \((Q)\), do đó \((R)\) cắt \((Q)\) theo giao tuyến \(b\).

Theo hệ quả về giao tuyến của hai mặt phẳng song song, hai giao tuyến thu được phải song song với nhau. Do đó \(a \parallel b\).

6. Luyện tập & Mẹo làm bài

Bài 1 (Tự giải): Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).

a) Chứng minh mặt phẳng \((BDA') \parallel (B'D'C)\).

b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC'\) với \((BDA')\). Chứng minh \(I\) là trọng tâm tam giác \(BDA'\).

Bài 2 (Tự giải): Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G_1, G_2, G_3\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC, ACD, ABD\). Chứng minh rằng \((G_1G_2G_3) \parallel (BCD)\).
🎯 Phương pháp chứng minh \((P) \parallel (Q)\):
  1. Cách 1 (Phổ biến nhất): Tìm hai đường thẳng cắt nhau \(a, b\) nằm trong \((P)\) sao cho \(a \parallel (Q)\) và \(b \parallel (Q)\).
  2. Cách 2: Tìm hai đường thẳng cắt nhau \(a, b \subset (P)\) và hai đường thẳng cắt nhau \(a', b' \subset (Q)\) sao cho \(a \parallel a'\) và \(b \parallel b'\).
  3. Cách 3: Chỉ ra hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) cùng song song với một mặt phẳng thứ ba \((R)\).
💡 Mẹo tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song:
  • Nếu mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M\) và song song với mặt phẳng \((Q)\), hãy áp dụng quy tắc: Mặt phẳng nào cắt \((Q)\) theo giao tuyến \(d\) thì \((P)\) sẽ cắt mặt phẳng đó theo giao tuyến \(d'\) đi qua \(M\) và song song với \(d\).