BÀI 13: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

• Mệnh đề a: Sai. Mặt phẳng \((P)\) chỉ chứa một đường thẳng song song với \((Q)\) thì \((P)\) có thể song song hoặc cắt \((Q)\).
• Mệnh đề b: Sai. Hai đường thẳng đó phải là hai đường thẳng cắt nhau nằm trong \((P)\) và cùng song song với \((Q)\) thì \((P) \parallel (Q)\) mới đúng. Nếu hai đường thẳng này song song với nhau thì chưa đủ điều kiện.
• Mệnh đề c: Đúng. Đây là tính chất bắc cầu của hai mặt phẳng song song trong không gian.
• Mệnh đề d: Sai. Hai mặt phẳng cùng cắt mặt phẳng \(\text{(R)}\) thì có thể cắt nhau theo hai giao tuyến song song hoặc chéo nhau chứ không nhất thiết phải song song với nhau.

• Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên các cạnh bên \(AA', BB', CC'\) song song và bằng nhau.
• Xét tứ giác \(ABB'A'\), có \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AA'\) và \(BB'\), nên \(MN \parallel AB\) (đường trung bình hoặc tính chất hình bình hành). Do đó \(MN \parallel (ABC)\).
• Tương tự, xét tứ giác \(ACC'A'\), có \(M\) và \(P\) lần lượt là trung điểm của \(AA'\) và \(CC'\), nên \(MP \parallel AC\), suy ra \(MP \parallel (ABC)\).

Mặt phẳng \((MNP)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(MN\) và \(MP\) cùng song song với mặt phẳng \((ABC)\). Vậy \((MNP) \parallel (ABC)\).

• Theo giả thiết, hình thang \(ABCD\) có \(AB \parallel CD\).
• Các đường thẳng \(m\) và \(n\) đi qua \(A\) và \(D\), song song với nhau (\(m \parallel n\)).
• Mặt phẳng \((B, m)\) chứa đường thẳng \(AB\) và đường thẳng \(m\) (qua \(A\), song song với \(n\)). Mặt phẳng \((C, n)\) chứa đường thẳng \(CD\) và đường thẳng \(n\).
• Vì \(AB \parallel CD\) và \(m \parallel n\) (với \(A \in (B, m), D \in (C, n)\)), ta suy ra hai mặt phẳng chứa các cặp đường thẳng cắt nhau tương ứng song song với nhau.

Do đó, \(\text{mp}(B, m) \parallel \text{mp}(C, n)\).

• Vì \((P) \parallel (ABC)\) và mặt phẳng \((SAB)\) cắt hai mặt phẳng song song \((P)\) và \((ABC)\) theo hai giao tuyến \(A_1B_1\) và \(AB\), nên theo định lý Thales trong không gian, ta có: \[\frac{SA_1}{SA} = \frac{SB_1}{SB}\]
• Tương tự, vì \((Q) \parallel (P) \parallel (ABC)\), các mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến \(SA\) và \(SB\) các đoạn thẳng tỉ lệ: \[\frac{SA_2}{SA} = \frac{SB_2}{SB}\]
• Theo giả thiết \(AA_1 = A_1A_2 = A_2S\), ta suy ra \(SA_1 = \frac{1}{3}SA\) và \(SA_2 = \frac{2}{3}SA\). Từ đó tính được độ dài các đoạn thẳng tương ứng trên \(SB\) và \(SC\).

Do đó ta suy ra \(BB_1 = B_1B_2 = B_2S\) và \(CC_1 = C_1C_2 = C_2S\) (đpcm).

Mặt phẳng cắt các cạnh bên của hình lăng trụ tứ giác \(ABCD.A'B'C'D'\) tại \(A'', B'', C'', D''\) tạo thành một mặt phẳng song song với các mặt đáy.

Hình tạo bởi các điểm \(A, B, C, D, A'', B'', C'', D''\) chính là một hình lăng trụ tứ giác nhỏ hơn nằm phía dưới, có các cạnh đáy là \(ABCD\) và các cạnh bên là \(AA'', BB'', CC'', DD''\).

a) Chứng minh tứ giác \(AGG'A'\) là hình bình hành:

• Gọi \(M\) và \(M'\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(B'C'\). Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên tam giác \(ABC\) bằng tam giác \(A'B'C'\), suy ra \(AM = A'M'\) và \(AM \parallel A'M'\).
• Vì \(G\) và \(G'\) là trọng tâm nên \(AG = \frac{2}{3}AM\) và \(A'G' = \frac{2}{3}A'M'\). Do đó \(AG = A'G'\) và \(AG \parallel A'G'\).

Tứ giác \(AGG'A'\) có cặp cạnh đối \(AG\) và \(A'G'\) song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.

b) Chứng minh \(AGC.A'G'C'\) là hình lăng trụ:

• Từ câu a, ta có \(GG' \parallel AA'\) và \(GG' = AA'\). Mặt khác cạnh bên hình lăng trụ ban đầu \(AA' \parallel CC'\) và \(AA' = CC'\), suy ra \(GG' \parallel CC'\) và \(GG' = CC'\).
• Các cạnh bên \(AA', GG', CC'\) song song và bằng nhau, đồng thời hai mặt đáy \(AGC\) và \(A'G'C'\) là hai tam giác bằng nhau.

Vậy khối đa diện \(AGC.A'G'C'\) thỏa mãn định nghĩa là một hình lăng trụ.

• Hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có các mặt đối diện song song. Mặt phẳng cắt các cạnh tương ứng theo các đoạn giao tuyến song song với cạnh bên và các cạnh đáy.
• Tứ giác \(ABNM\) và \(A'B'N'M'\) là các hình bình hành nằm trong hai mặt phẳng song song. Các cạnh bên \(AA', BB', NN', MM'\) song song và bằng nhau.

Do đó, khối đa diện \(ABNM.A'B'N'M'\) có các mặt là hình bình hành và thỏa mãn cấu trúc của một hình hộp.

Bức tường của ngôi nhà được coi là một mặt phẳng cố định \((P)\).

Các bậc cầu thang xương cá được thiết kế sao cho các mép gắn trên tường đều nằm trên các đường thẳng giao tuyến của các mặt phẳng bậc thang song song với nhau (hoặc cùng vuông góc/tạo góc đều với phương đứng của tường).

Theo tính chất hình học không gian, các giao tuyến của một mặt phẳng với các mặt phẳng song song (hoặc các bậc thang song song cách đều) sẽ tạo ra các đường thẳng song song với nhau, giúp cấu trúc cầu thang đều đặn, chắc chắn và đảm bảo tính thẩm mỹ.