Giải Bài Tập Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Toán 11 KNTT

BÀI 12: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

Bài 4.16. Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt \(a, b\) và mặt phẳng \((P)\). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
a) Nếu \(a\) và \((P)\) có điểm chung thì \(a\) không song song với \((P)\).
b) Nếu \(a\) và \((P)\) có điểm chung thì \(a\) và \((P)\) cắt nhau.
c) Nếu \(a\) song song với \(b\) và \(b\) nằm trong \((P)\) thì \(a\) song song với \((P)\).
d) Nếu \(a\) và \(b\) song song với \((P)\) thì \(a\) song song với \(b\).
Lời giải:
  • Mệnh đề a: Đúng. Theo định nghĩa, đường thẳng song song với mặt phẳng là đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng đó. Do đó, nếu có điểm chung thì chúng không thể song song.
  • Mệnh đề b: Sai. Đường thẳng và mặt phẳng có điểm chung thì có thể cắt nhau hoặc đường thẳng nằm hoàn toàn trong mặt phẳng đó.
  • Mệnh đề c: Sai. Đường thẳng \(a\) song song với \(b\) mà \(b \subset (P)\) thì \(a\) có thể song song với \((P)\) hoặc \(a\) có thể nằm hoàn toàn trong \((P)\).
  • Mệnh đề d: Sai. Hai đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng thì có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau.
Bài 4.17. Cho hai tam giác \(ABC\) và \(ABD\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AC, AD\).
a) Đường thẳng \(AM\) có song song với mặt phẳng \((BCD)\) hay không? Hãy giải thích tại sao.
b) Đường thẳng \(MN\) có song song với mặt phẳng \((BCD)\) hay không? Hãy giải thích tại sao.
Lời giải:

a) Đường thẳng \(AM\) có song song với mặt phẳng \((BCD)\) hay không?

Không. Vì điểm \(M\) nằm trên cạnh \(AC\) mà \(AC\) cắt mặt phẳng \((BCD)\) tại \(C\) (với \(M\) khác \(C\)), hoặc điểm \(A\) không thuộc mặt phẳng \((BCD)\) và đường thẳng \(AM\) chính là đường thẳng \(AC\), cắt mặt phẳng \((BCD)\) tại điểm \(C\).

b) Đường thẳng \(MN\) có song song với mặt phẳng \((BCD)\) hay không?

Có. Giải thích:

  • Xét tam giác \(ACD\), có \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(N\) là trung điểm của \(AD\). Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\), suy ra \(MN \parallel CD\).
  • Mặt khác, đường thẳng \(CD\) nằm trong mặt phẳng \((BCD)\) (\(CD \subset (BCD)\)) và \(MN \not\subset (BCD)\).

Theo dấu hiệu nhận biết, đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \((BCD)\).

Bài 4.18. Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh \(BC, CD\). Chứng minh rằng đường thẳng \(BD\) song song với mặt phẳng \((AMN)\).
Lời giải:
  • Xét tam giác \(BCD\), có \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(N\) là trung điểm của \(CD\). Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\), suy ra \(MN \parallel BD\).
  • Mặt khác, đường thẳng \(MN\) nằm trong mặt phẳng \((AMN)\) (\(MN \subset (AMN)\)), còn đường thẳng \(BD\) không nằm trong mặt phẳng \((AMN\) (\(BD \not\subset (AMN)\)).

Theo dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng, ta kết luận đường thẳng \(BD\) song song với mặt phẳng \((AMN)\).

Bài 4.19. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang (\(AB \parallel CD\)). Gọi \(E\) là một điểm nằm giữa \(S\) và \(A\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng qua \(E\) và song song với hai đường thẳng \(AB, AD\). Xác định giao tuyến của \((P)\) và các mặt bên của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?
Lời giải:
  • Xác định giao tuyến:
    - Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(E \in SA\) và song song với \(AB\) nên giao tuyến của \((P)\) với mặt phẳng \((SAB)\) là đường thẳng qua \(E\) và song song với \(AB\), cắt \(SB\) tại điểm \(F\).
    - Tương tự, mặt phẳng \((P)\) song song với \(AD\), cắt các mặt bên theo các đường thẳng song song với \(AD\): cắt mặt \((SAD)\) tại đoạn thẳng song song với \(AD\), cắt mặt \((SBC)\) và \((SCD)\) tạo thành các đoạn giao tuyến khép kín.
  • Hình tạo bởi các giao tuyến: Các đoạn giao tuyến của mặt phẳng \((P)\) với các mặt bên của hình chóp tạo thành một đa giác (cụ thể là một hình bình hành hoặc hình thang do tính chất các đường thẳng song song trong không gian).
Bài 4.20. Bạn Nam quan sát thấy dù cửa ra vào được mở ở vị trí nào thì mép trên của cửa luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy cho biết đó là mặt phẳng nào và giải thích tại sao.
Lời giải:
  • Mặt phẳng cố định: Đó chính là mặt phẳng nền nhà (hoặc mặt phẳng sàn).
  • Giải thích: Trục bản lề của cửa được lắp đặt cố định vuông góc với mặt phẳng nền nhà. Khi mở cửa, cánh cửa quay quanh trục bản lề này, làm cho mọi đường nằm ngang trên cánh cửa (trong đó có mép trên của cửa) luôn có phương song song với mặt phẳng nền nhà. Theo tính chất đường thẳng song song với mặt phẳng, mép trên của cửa luôn song song với mặt phẳng sàn nhà ở mọi góc mở.