📐 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
Chương IV: Quan hệ song song trong không gian - Toán 11 Kết nối tri thức
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian
Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian. Ta chia thành hai trường hợp chính dựa trên tính đồng phẳng:
Trường hợp 1: Cùng nằm trong một mặt phẳng (Đồng phẳng)
| Vị trí tương đối | Số điểm chung | Ký hiệu |
|---|---|---|
| Cắt nhau | Có duy nhất 1 điểm chung | \(a \cap b = \{P\}\) |
| Song song | Không có điểm chung nào | \(a \parallel b\) |
| Trùng nhau | Có vô số điểm chung | \(a \equiv b\) |
Trường hợp 2: Không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng nào
Hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào.
Khi \(a\) và \(b\) chéo nhau, chúng không có điểm chung và không thể song song với nhau.
2. Tính chất của hai đường thẳng song song
Tiên đề Euclid về đường thẳng song song trong không gian
Trong không gian, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Tính chất bắc cầu
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
\[ \left. \begin{array}{l} a \parallel c \\ b \parallel c \\ a \neq b \end{array} \right\} \Rightarrow a \parallel b \]3. Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (Định lí giao tuyến)
Định lí (Về giao tuyến của ba mặt phẳng)
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
Hệ quả (Giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường song song)
Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
\[ \left. \begin{array}{l} a \subset (P), b \subset (Q) \\ a \parallel b \\ (P) \cap (Q) = d \end{array} \right\} \Rightarrow d \parallel a \text{ và } d \parallel b \]4. Các dạng toán cốt lõi
Phương pháp: Sử dụng các định lí hình học phẳng (đường trung bình, định lí Thales đảo, tam giác đồng dạng) hoặc tính chất bắc cầu trong không gian.
Lời giải:
- Trong tam giác \(SAB\), \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SB\) \(\Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\triangle SAB \Rightarrow MN \parallel AB\).
- Trong tam giác \(SDC\), \(P\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(SC\) và \(SD\) \(\Rightarrow PQ\) là đường trung bình của \(\triangle SDC \Rightarrow PQ \parallel CD\).
- Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB \parallel CD\).
- Từ đó suy ra \(MN \parallel PQ\) (vì cùng song song với \(AB\) và \(CD\)).
Phương pháp: Áp dụng Hệ quả định lí giao tuyến:
- Xác định điểm chung \(I\) của hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\).
- Tìm đường thẳng \(a \subset (P)\) và \(b \subset (Q)\) sao cho \(a \parallel b\).
- Giao tuyến cần tìm là đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) và \(d \parallel a \parallel b\).
Lời giải:
- Ta có \(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\).
- Mặt khác: \(AB \subset (SAB)\), \(CD \subset (SCD)\) và \(AB \parallel CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành).
- Theo hệ quả định lí giao tuyến, giao tuyến của \((SAB)\) và \((SCD)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AB\) và \(CD\).
5. Bài tập tự luyện (Có đáp án & Lời giải chi tiết)
Hãy làm các bài tập sau để nắm vững kiến thức trước khi mở đáp án nhé!
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I, J\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC\). Trên cạnh \(BD\) lấy điểm \(K\) sao cho \(BK = \frac{1}{2}KD\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(CD\) và mặt phẳng \((IJK)\).
a) Chứng minh \(IJ \parallel AB\).
b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \((IJK)\) và mặt phẳng \((ABD)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với đáy lớn \(AB\) (\(AB = 2CD\)). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\).
a) Tìm giao tuyến của \((SAD)\) và \((SBC)\).
b) Tìm giao tuyến của \((MCD)\) và \((SAB)\).
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Mệnh đề nào sau đây là DÚNG?
A. Có duy nhất một mặt phẳng chứa cả \(a\) và \(b\).
B. Mọi đường thẳng cắt \(a\) thì cũng cắt \(b\).
C. Không tồn tại mặt phẳng nào chứa cả \(a\) và \(b\).
D. Có vô số đường thẳng song song với cả \(a\) và \(b\).
6. Ghi nhớ & Mẹo giải bài tập
- Nếu hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng mà không có điểm chung \(\Rightarrow\) Chúng song song.
- Nếu hai đường thẳng không cùng thuộc mặt phẳng nào \(\Rightarrow\) Chúng chéo nhau.
- Khi dựng giao tuyến qua điểm chung \(S\) của hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường song song \(a \parallel b\), hãy vẽ đường thẳng đi qua \(S\) và vẽ thước kẻ song song với \(a\) (và \(b\)).
- Áp dụng định lí Thales trong tam giác và hình thang để chứng minh tỉ lệ, từ đó suy ra quan hệ song song nhanh chóng.