BÀI 11: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

• Mệnh đề a: Sai. Hai đường thẳng không cắt nhau trong không gian có thể song song hoặc chéo nhau.
• Mệnh đề b: Đúng. Theo định nghĩa, hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng thuộc bất kỳ mặt phẳng nào.
• Mệnh đề c: Sai. Trong không gian, tính chất bắc cầu chỉ đúng cho ba đường thẳng song song phân biệt khi chúng đồng phẳng hoặc xét theo tính chất không gian (chú ý: nếu \(a, b, c\) phân biệt cùng song song với \(c\) thì \(a \parallel b\), tuy nhiên đề bài không nói rõ phân biệt, thực tế tính chất này đúng với đường thẳng phân biệt, nhưng cần cẩn trọng; thực chất trong SGK đây là mệnh đề sai nếu xét \(a \equiv b\), nhưng theo không gian hình học không gian lớp 11, quan hệ song song của đường thẳng có tính chất bắc cầu). Đính chính chuẩn SGK: Phát biểu c là Đúng (nếu \(a, b, c\) là ba đường thẳng phân biệt).
• Mệnh đề d: Sai. Hai đường thẳng \(a\) và \(c\) có thể cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc chéo nhau.

• a) \(AB\) và \(CD\): Cùng nằm trong mặt phẳng đáy \((ABCD)\) và đáy là hình bình hành nên \(AB \parallel CD\) (Song song).
• b) \(AC\) và \(BD\): Cùng nằm trong mặt phẳng đáy \((ABCD)\) và là hai đường chéo của hình bình hành nên chúng cắt nhau tại tâm của đáy (Cắt nhau).
• c) \(SB\) và \(CD\): Đường thẳng \(CD\) nằm trong mặt phẳng \((ABCD)\) và điểm \(S\) không thuộc mặt phẳng này. Đường thẳng \(SB\) cắt mặt phẳng đáy tại \(B\) (với \(B \notin CD\)). Do đó \(SB\) và \(CD\) không đồng phẳng và không cắt nhau, suy ra chúng chéo nhau.

• Xét tam giác \(SAC\), ta có \(M\) là trung điểm của \(SA\), \(P\) là trung điểm của \(SC\). Do đó \(MP\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\), suy ra \(MP \parallel AC\) và \(MP = \frac{1}{2}AC\).
• Xét tam giác \(DAC\), đoạn thẳng nối trung điểm không vẽ nhưng xét tam giác \(SBD\), ta có \(N\) và \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(SD\). Suy ra \(NQ\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\), do đó \(NQ \parallel BD\) và \(NQ = \frac{1}{2}BD\).
• Mặt khác, đáy \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AC \parallel BD\) và \(AC = BD\).
• Từ trên suy ra \(MP \parallel NQ\) (cùng song song với \(AC\)) và \(MP = NQ\) (cùng bằng \(\frac{1}{2}AC\)).

Tứ giác \(MNPQ\) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau (hoặc có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) nên \(MNPQ\) là hình bình hành.

• Xét tam giác \(SAB\), ta có \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SB\). Do đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\), suy ra \(MN \parallel AB\).
• Theo giả thiết, tứ giác \(ABCD\) là hình thang với \(AB \parallel CD\).
• Từ \(MN \parallel AB\) và \(AB \parallel CD\), suy ra \(MN \parallel CD\).

Tứ giác \(MNCD\) có \(MN \parallel CD\) nên \(MNCD\) là hình thang.

a) Xác định giao tuyến của \((MAB)\) và \((SCD)\):

• Điểm chung thứ nhất: \(M \in SD \subset (SCD)\) và \(M \in (MAB)\), suy ra \(M\) là điểm chung.
• Tìm giao tuyến qua \(M\): Trong mặt phẳng \((ABCD)\), vì \(AB \parallel CD\), qua điểm \(M\) ta dựng đường thẳng \(d\) song song với \(AB\) và \(CD\). Đường thẳng này cắt \(SC\) tại \(N\).
• Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng \((MAB)\) và \((SCD)\) là đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(CD\) (chính là đường thẳng chứa đoạn \(MN\)).

b) Chứng minh \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\):

• Theo cách dựng ở câu a, đường thẳng qua \(M\) song song với \(CD\) cắt \(SC\) tại điểm \(N\), suy ra \(MN \parallel CD\).
• Xét tam giác \(SCD\), có \(M\) là trung điểm của \(SD\) và \(MN \parallel CD\), suy ra \(N\) phải là trung điểm của cạnh \(SC\).

Do đó, đoạn thẳng \(MN\) nối trung điểm hai cạnh \(SD\) và \(SC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\).

• Xác định điểm chung thứ nhất: Gọi \(I = AN \cap BP\) (trong mặt phẳng \((ABC)\), vì \(P \in AC, N \in CD \rightarrow\) nhầm, điều chỉnh: xét trong mặt phẳng \(\text{mp}(ABC)\) gọi giao điểm, nhưng đơn giản hơn là tìm theo hình học phẳng).
  Chỉnh lại: Xét tam giác \(BCD\), có \(M, N\) là trung điểm của \(BC, CD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\), suy ra \(MN \parallel BD\).
• Mặt khác, \(MN \subset (AMN)\) và \(BD\) nằm trong mặt phẳng \((BPD)\).
• Xét hai mặt phẳng \((AMN)\) và \((BPD)\):
  - Có điểm chung thứ nhất là giao điểm của đường thẳng chứa \(AP\) với mặt phẳng \((BPD)\)... Cụ thể: Xét điểm \(I = AN \cap BP\) trong \((ABC)\)...
  Cách chuẩn xác: Xét điểm \(A\) chung? Không, \(A \notin (BPD)\).
  Ta có \(MN \parallel BD\). Đường thẳng \(BD\) nằm trong mặt phẳng \((BPD)\).
  Do đó, giao tuyến của \((AMN)\) và \((BPD)\) là đường thẳng đi qua điểm chung \(X\) của hai mặt phẳng và song song với \(BD\) (và song song với \(MN\)).

Chứng minh song song: Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng hoặc tính chất đường thẳng song song, giao tuyến của \((AMN)\) và \((BPD)\) đi qua điểm chung và song song với đường thẳng chung \(BD\) của hai mặt phẳng chứa \(MN\) và \(BD\) song song.

• Đối với cửa hình chữ nhật (Hình 4.29): Khung cửa gắn vào tường cố định tạo thành các mặt phẳng song song hoặc cố định phương. Hai cánh cửa quay quanh các trục bản lề song song với nhau. Theo tính chất giao tuyến của mặt phẳng song song, hai mép ngoài tự do của cửa luôn giữ trạng thái song song với nhau ở mọi góc mở.
• Đối với cửa hình thang (Hình 4.30): Các cạnh mép ngoài không vuông góc hoặc không đồng phẳng theo cùng một tỉ lệ góc cố định, do đó khi mở ở các góc quay khác nhau, hai mép ngoài này không thể song song với nhau cùng một lúc.