Câu 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng về cách xác định một mặt phẳng duy nhất?
Giải thích: Theo tính chất thừa nhận của hình học không gian, có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Giải thích: Khẳng định C sai vì nếu điểm đó nằm trên đường thẳng thì có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng đó (và chứa cả điểm đó).
Câu 3. Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(N\) là trung điểm của \(AC\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \((DMN)\) và \((ABC)\) là đường thẳng nào?
Giải thích: Hai điểm chung phân biệt của mặt phẳng \((DMN)\) và mặt phẳng \((ABC)\) là điểm \(M\) và điểm \(N\). Do đó giao tuyến là đường thẳng \(MN\).
Câu 4. Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) là đường thẳng nào?
Giải thích: Ta có \(S \in (SAC) \cap (SBD)\) và \(O = AC \cap BD \Rightarrow O \in (SAC) \cap (SBD)\). Vậy giao tuyến là đường thẳng \(SO\).
Câu 5. Cho 4 điểm phân biệt không đồng phẳng \(A, B, C, D\). Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt được tạo thành từ 3 trong 4 điểm đó?
Giải thích: Số mặt phẳng tạo thành từ 3 trong 4 điểm không đồng phẳng là tổ hợp chập 3 của 4: \(C_4^3 = 4\). Các mặt phẳng đó là \((ABC), (ABD), (ACD), (BCD)\).
Câu 6. Cho hình chóp \( S.ABC \). Gọi \(M, N\) lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh \(SA, SB\) sao cho \(MN\) cắt \(AB\) tại \(I\). Giao điểm của đường thẳng \(MN\) với mặt phẳng \((ABC)\) là:
Giải thích: Do \(I = MN \cap AB\) mà \(AB \subset (ABC)\) nên \(I \in (ABC)\). Đồng thời \(I \in MN\). Vậy giao điểm của \(MN\) và \((ABC)\) là điểm \(I\).
Câu 7. Một hình chóp có đáy là ngũ giác thì số mặt và số cạnh của hình chóp đó lần lượt là:
Giải thích: Hình chóp ngũ giác có 1 mặt đáy và 5 mặt bên \(\rightarrow\) tổng 6 mặt. Có 5 cạnh đáy và 5 cạnh bên \(\rightarrow\) tổng 10 cạnh.
Câu 8. Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \((AIG)\) (với \(I\) là trung điểm \(BC\)) và mặt phẳng \((ACD)\) là:
Giải thích: Trong tam giác \(BCD\), vì \(G\) là trọng tâm và \(I\) là trung điểm \(BC\) nên đường thẳng \(IG\) đi qua đỉnh \(D\). Suy ra \(D \in IG \subset (AIG)\). Hai mặt phẳng \((AIG)\) và \((ACD)\) có hai điểm chung là \(A\) và \(D\), nên giao tuyến là đường thẳng \(AD\).
Câu 9. Cho mặt phẳng \((P)\) và đường thẳng \(d\). Nếu đường thẳng \(d\) có hai điểm phân biệt cùng thuộc mặt phẳng \((P)\) thì:
Giải thích: Theo tính chất thừa nhận của HHKG, nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng đó (đường thẳng nằm hoàn toàn trong mặt phẳng).
Câu 10 Thực tế. Trong thực tế xây dựng và quay phim, các người thợ thường sử dụng "giá đỡ 3 chân" (tripod) thay vì giá đỡ 4 chân để đặt máy quay hoặc máy đo đạc địa hình. Giải thích toán học nào sau đây là chính xác nhất cho việc này?
Giải thích: Ba điểm đầu chân giá tiếp xúc với mặt đất (không thẳng hàng) luôn cùng thuộc duy nhất một mặt phẳng, do đó luôn tạo sự ổn định không bị bấp bênh dù mặt đất phẳng hay gồ ghề. Trong khi đó, 4 điểm bất kỳ trong không gian chưa chắc đã đồng phẳng, nên ghế/giá 4 chân rất dễ bị lệch/bấp bênh.