📘 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Chương IV: Quan hệ song song trong không gian - Toán 11 Kết nối tri thức
1. Các khái niệm mở đầu
a) Mặt phẳng
Mặt phẳng là một đối tượng cơ bản của hình học không gian, không có bề dày và mở rộng vô tận về mọi phía.
Biểu diễn mặt phẳng: Thường dùng một hình bình hành để biểu diễn cho một mặt phẳng.
Ký hiệu: Dùng chữ cái in hoa đặt trong dấu ngoặc đơn, ví dụ: \((P)\), \((Q)\), \((R)\), \(\dots\)
b) Điểm thuộc mặt phẳng
- Nếu điểm \(A\) nằm trên mặt phẳng \((P)\), ta nói \(A\) thuộc \((P)\) hay \((P)\) chứa \(A\). Ký hiệu: \(A \in (P)\).
- Nếu điểm \(B\) không nằm trên mặt phẳng \((P)\), ta nói \(B\) không thuộc \((P)\). Ký hiệu: \(B \notin (P)\).
- Đường thẳng được biểu diễn bằng đường thẳng. Đoạn thẳng được biểu diễn bằng đoạn thẳng.
- Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bằng hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau).
- Đường nhìn thấy biểu diễn bằng nét liền (\(-\)). Đường bị che khuất biểu diễn bằng nét đứt (\(- - -\)).
2. Các tính chất thừa nhận của Hình học không gian
- Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
- Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
- Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng đó.
- Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng (bốn điểm không đồng phẳng).
- Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng chung đó gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
3. Cách xác định một mặt phẳng
Một mặt phẳng được xác định duy nhất khi biết một trong ba điều kiện sau:
- Ba điểm không thẳng hàng: Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng \(A, B, C\). Ký hiệu là mặt phẳng \((ABC)\).
- Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó: Mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và đường thẳng \(d\) không chứa \(A\). Ký hiệu là \((A, d)\).
- Hai đường thẳng cắt nhau: Mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d_1\) và \(d_2\). Ký hiệu là \((d_1, d_2)\).
Cho tứ giác \(ABCD\) có các cặp cạnh đối không song song. Bốn điểm \(A, B, C, D\) xác định bao nhiêu mặt phẳng phân biệt chứa từng cặp ba điểm một?
Nếu 4 điểm không đồng phẳng, ta có 4 mặt phẳng phân biệt: \((ABC), (ABD), (ACD), (BCD)\).
4. Hình chóp và Hình tứ diện
a) Hình chóp
Cho đa giác \(A_1A_2\dots A_n\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) và điểm \(S\) không thuộc \((P)\). Hình gồm đa giác \(A_1A_2\dots A_n\) và \(n\) tam giác \(SA_1A_2, SA_2A_3, \dots, SA_nA_1\) gọi là hình chóp.
- \(S\): Đỉnh của hình chóp.
- Đa giác \(A_1A_2\dots A_n\): Mặt đáy.
- Các tam giác \(SA_1A_2, SA_2A_3, \dots\): Các mặt bên.
- Ký hiệu: \(S.A_1A_2\dots A_n\).
b) Hình tứ diện
Cho bốn điểm \(A, B, C, D\) không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác \(ABC, ACD, ABD, BCD\) gọi là hình tứ diện (gọi tắt là tứ diện), ký hiệu là \(ABCD\).
- Tứ diện có 4 đỉnh (\(A, B, C, D\)), 6 cạnh (\(AB, AC, AD, BC, CD, DB\)) và 4 mặt.
- Hai cạnh không đi qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện (ví dụ: \(AB\) và \(CD\)).
- Tứ diện có 4 mặt là các tam giác đều gọi là tứ diện đều.
5. Dạng toán cốt lõi: Giao tuyến và Giao điểm
Phương pháp: Tìm hai điểm chung phân biệt \(A\) và \(B\) của \((P)\) và \((Q)\). Khi đó giao tuyến là đường thẳng \(AB\).
Lời giải:
- Rõ ràng \(S \in (SAC)\) và \(S \in (SBD) \Rightarrow S\) là điểm chung thứ nhất.
- Trong mặt phẳng đáy \((ABCD)\), gọi \(O = AC \cap BD\).
- Vì \(O \in AC \subset (SAC) \Rightarrow O \in (SAC)\).
- Vì \(O \in BD \subset (SBD) \Rightarrow O \in (SBD)\).
- Do đó \(O\) là điểm chung thứ hai.
\(\Rightarrow\) Giao tuyến của \((SAC)\) và \((SBD)\) là đường thẳng \(SO\).
Phương pháp:
- Tìm một mặt phẳng phụ \((Q)\) chứa đường thẳng \(d\).
- Tìm giao tuyến \(a\) của \((P)\) và \((Q)\).
- Trong mặt phẳng \((Q)\), gọi \(I = d \cap a\). Khi đó \(I = d \cap (P)\).
Lời giải:
- Ta thấy \(BM\) và \(AC\) cùng thuộc mặt phẳng \((ABC)\).
- Trong mặt phẳng \((ABC)\), \(BM \cap AC = M\).
- Vì \(M \in AC \subset (ACD) \Rightarrow M \in (ACD)\).
\(\Rightarrow\) Giao điểm của đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \((ACD)\) chính là điểm \(M\).
6. Bài tập tự luyện (Có đáp án & Lời giải chi tiết)
Hãy tự suy nghĩ và thực hành các bài tập dưới đây trước khi mở đáp án để đạt hiệu quả học tập tốt nhất!
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SA\).
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \((SAC)\) và mặt phẳng \((SBD)\).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng \(SO\) và mặt phẳng \((MCB)\).
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(AB\) sao cho \(AM = 2MB\).
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \((ABG)\) và mặt phẳng \((ACD)\).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng \(MG\) và mặt phẳng \((ACD)\).
Mệnh đề nào sau đây là SAI?
A. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có duy nhất một đường thẳng chung.
B. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua 3 điểm phân biệt cho trước.
C. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau.
D. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng.
7. Ghi nhớ & Mẹo vẽ hình
- Nét liền (\(-\)): Dùng cho các cạnh, các đoạn thẳng nhìn thấy được từ góc nhìn người quan sát.
- Nét đứt (\(- - -\)): Dùng cho các cạnh, các đoạn thẳng bị che khuất bởi các mặt phẳng phía trước.
- Để tìm điểm chung của 2 mặt phẳng, hãy mở rộng các mặt phẳng bằng cách kéo dài các đoạn thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng phẳng cho tới khi chúng cắt nhau.
- Chú ý điều kiện cắt nhau: Hai đường thẳng chỉ cắt nhau khi và chỉ khi chúng cùng thuộc một mặt phẳng và không song song.
- Vẽ hình chóp: Nên vẽ đáy trước, sau đó lấy đỉnh \(S\) ở phía trên rồi nối xuống các đỉnh của đáy.