BÀI 10: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)
a) Nếu \(a\) chứa một điểm nằm trong \((P)\) thì \(a\) nằm trong \((P)\).
b) Nếu \(a\) chứa hai điểm phân biệt thuộc \((P)\) thì \(a\) nằm trong \((P)\).
c) Nếu \(a\) và \(b\) cùng nằm trong \((P)\) thì giao điểm (nếu có) của \(a\) và \(b\) cũng nằm trong \((P)\).
d) Nếu \(a\) nằm trong \((P)\) và \(a\) cắt \(b\) thì \(b\) nằm trong \((P)\).
- Mệnh đề a: Sai. Đường thẳng chỉ chứa một điểm thuộc mặt phẳng thì vẫn có thể cắt mặt phẳng tại điểm đó chứ không nhất thiết phải nằm hoàn toàn trong mặt phẳng.
- Mệnh đề b: Đúng. Theo tính chất thừa nhận số 2 (Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì đường thẳng đó hoàn toàn thuộc mặt phẳng đó).
- Mệnh đề c: Đúng. Vì \(a\) và \(b\) đều nằm trong \((P)\) nên giao điểm của chúng (nếu tồn tại) chắc chắn phải thuộc mặt phẳng \((P)\).
- Mệnh đề d: Sai. Đường thẳng \(b\) chỉ cắt \(a\) tại một điểm thuộc \((P)\) thì \(b\) có thể cắt mặt phẳng \((P)\) tại điểm đó chứ không bắt buộc phải nằm trong \((P)\).
a) Đường thẳng \(DE\) có nằm trong mặt phẳng \((SAB)\) không?
b) Giả sử \(DE\) cắt \(AB\) tại \(F\). Chứng minh rằng \(F\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((CDE)\).
a) Đường thẳng \(DE\) có nằm trong mặt phẳng \((SAB)\) không?
Ta có điểm \(D \in SA \subset (SAB)\) và điểm \(E \in SB \subset (SAB)\). Do đó hai điểm phân biệt \(D\) và \(E\) đều thuộc mặt phẳng \((SAB)\). Theo tính chất, đường thẳng \(DE\) nằm hoàn toàn trong mặt phẳng \((SAB)\).
b) Chứng minh \(F\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((CDE)\):
- Vì \(F = DE \cap AB\) mà \(DE \subset (SAB)\) và \(AB \subset (SAB)\) nên điểm \(F\) thuộc mặt phẳng \((SAB)\).
- Mặt khác, \(F \in DE\) mà \(DE \subset (CDE)\) nên điểm \(F\) cũng thuộc mặt phẳng \((CDE)\).
Vậy \(F\) vừa thuộc \((SAB)\) vừa thuộc \((CDE)\), hay \(F\) là điểm chung của hai mặt phẳng này.
Gọi \(A = c \cap a\) và \(B = c \cap b\).
- Vì \(A = c \cap a\) và đường thẳng \(a \subset (P)\) nên điểm \(A\) thuộc mặt phẳng \((P)\).
- Vì \(B = c \cap b\) và đường thẳng \(b \subset (P)\) nên điểm \(B\) thuộc mặt phẳng \((P)\).
Như vậy, đường thẳng \(c\) đi qua hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) cùng thuộc mặt phẳng \((P)\). Theo tính chất cơ bản, toàn bộ đường thẳng \(c\) phải nằm trong mặt phẳng \((P)\).
- Tìm điểm chung thứ nhất: Điểm \(M\) thuộc cạnh \(SC\). Mà \(SC \subset (SCD)\) nên \(M \in (SCD)\). Mặt khác, \(M \in (ABM)\). Do đó \(M\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \((ABM)\) và \((SCD)\).
- Tìm điểm chung thứ hai:
- Xét trong mặt phẳng \((ABCD)\): Giả thiết cho \(AB \cap CD = \{N\}\).
- Ta có \(N \in AB\) mà \(AB \subset (ABM)\), suy ra \(N \in (ABM)\).
- Ta có \(N \in CD\) mà \(CD \subset (SCD)\), suy ra \(N \in (SCD)\).
Do đó \(N\) là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng \((ABM)\) và \((SCD)\).
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \((ABM)\) và \((SCD)\) là đường thẳng \(MN\).
a) Xác định giao điểm của \(\text{mp}(E, d)\) với các cạnh \(SB, SD\) của hình chóp.
b) Xác định giao tuyến của \(\text{mp}(E, d)\) với các mặt của hình chóp.
(Lưu ý: Mặt phẳng \((E, d)\) chính là mặt phẳng đi qua điểm \(E\) và chứa đường thẳng \(d\)).
a) Xác định giao điểm với \(SB, SD\):
- Trong mặt phẳng \((SAB)\), gọi \(H = EP \cap SB\). Khi đó \(H\) là giao điểm của \((E, d)\) với cạnh \(SB\).
- Trong mặt phẳng \((SAD)\), gọi \(K = EQ \cap SD\). Khi đó \(K\) là giao điểm của \((E, d)\) với cạnh \(SD\).
b) Xác định giao tuyến với các mặt của hình chóp:
Mặt phẳng \((E, d)\) cắt các mặt của hình chóp theo các đoạn giao tuyến sau:
- Giao tuyến với mặt \((ABCD)\) là đường thẳng \(d\) (cắt các cạnh \(CB, CD\) tại \(M, N\)).
- Giao tuyến với mặt \((SAB)\) là đoạn thẳng \(EH\).
- Giao tuyến với mặt \((SBC)\) là đoạn thẳng \(HM\).
- Giao tuyến với mặt \((SCD)\) là đoạn thẳng \(MN\).
- Giao tuyến với mặt \((SAD)\) là đoạn thẳng \(EK\).
a) Xác định giao điểm của đường thẳng \(CD\) và mặt phẳng \((MNP)\).
b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((ACD)\) và \((MNP)\).
a) Xác định giao điểm của \(CD\) và \((MNP)\):
- Trong mặt phẳng \((BCD)\), gọi \(K = NP \cap CD\).
- Vì \(K \in NP\) mà \(NP \subset (MNP)\) nên \(K \in (MNP)\).
- Vì \(K \in CD\).
Vậy \(K = CD \cap (MNP)\).
b) Xác định giao tuyến của \((ACD)\) và \((MNP)\):
- Điểm chung thứ nhất là \(M\) (vì \(M \in AC \subset (ACD)\) và \(M \in (MNP)\)).
- Điểm chung thứ hai là điểm \(K\) đã xác định ở câu a (vì \(K \in CD \subset (ACD)\) và \(K \in (MNP)\)).
Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng \((ACD)\) và \((MNP)\) là đường thẳng \(MK\).
Theo hình học không gian, qua 3 điểm không thẳng hàng ta xác định được duy nhất một mặt phẳng.
Khi bưng khay bằng ít nhất 3 ngón tay (3 điểm tiếp xúc không thẳng hàng), các ngón tay này tạo thành một mặt phẳng duy nhất nâng đỡ đáy khay, giúp chiếc khay được giữ cân bằng tuyệt đối, không bị chông chênh hay lật nghiêng trong quá trình di chuyển.
Lưỡi dao cắt của bàn cắt giấy được thiết kế gắn cố định một đầu vào bản lề và chuyển động quay quanh trục cố định đó, tiếp xúc với cạnh sắc của mặt bàn.
Theo hình học không gian, giao tuyến của hai mặt phẳng (mặt phẳng chứa lưỡi dao và mặt phẳng của mặt bàn giấy) luôn là một đường thẳng. Do đó, vết cắt để lại trên tập giấy luôn là một đường thẳng sắc nét.