Mind Map

BÀI 1. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Mặt phẳng trong không gian

2. Các tính chất được thừa nhận của hình học không gian

3. Cách xác định mặt phẳng

4. Hình chóp và hình tứ diện

Ví dụ – Giao tuyến của hai mặt phẳng

CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1 Cho tứ diện $SABC$. Gọi $M,N$ lần lượt là hai điểm trên cạnh $AB$ và $BC$ sao cho $MN$ không song song với $AC$. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

$(SMN)$ và $(SAC)$;
$(SAN)$ và $(SCM)$.

Lời giải.

1. Trong $(ABC)$, gọi $K = MN \cap AC$, ta có

$K \in (SMN) \cap (SAC)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $SK$.

2. Trong $(ABC)$, gọi $H = AN \cap CM$, ta có

$H \in (SAN) \cap (SCM)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $SH$.

Ví dụ 2 Cho hình chóp $S.ABCD$, trong đáy tứ giác $ABCD$ có các cặp cạnh đối không song song. Gọi điểm $M$ thuộc cạnh $SA$. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

$(SAC)$ và $(SBD)$;
$(SAB)$ và $(SCD)$;
$(SAD)$ và $(SBC)$.

Lời giải.

1. Trong $(ABCD)$, gọi $E = AC \cap BD$, ta có

$E \in (SAC) \cap (SBD)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $SE$.

2. Trong $(ABCD)$, gọi $F = AB \cap CD$, ta có

$F \in (SAB) \cap (SCD)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $SF$.

3. Trong $(ABCD)$, gọi $K = AD \cap BC$, ta có

$K \in (SAD) \cap (SBC)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $SK$.

Ví dụ 3 Cho tứ diện $SABC$ có $M$ là điểm nằm trên tia đối của $SA$, $O$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$. Tìm các giao tuyến của:

Đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $(SOA)$;
Đường thẳng $MO$ và mặt phẳng $(SBC)$;
Đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(MOC)$;
Đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(MOC)$.

Lời giải.

1. Trong mặt phẳng $(ABC)$, kẻ đường cao hoặc nối $A$ tới $BC$ tại $I$; rõ ràng $I\in (SOA)\cap BC$. Vậy giao điểm là $I$ (nếu xác định rõ trong hình).

2. Chọn mặt phẳng chứa $MO$ và $S$ (ví dụ $(SOA)$), ta thấy giao của $(SOA)$ với $(SBC)$ là một đường thẳng đi qua $S$ và điểm giao của hai mặt phẳng đáy; dựa vào vị trí $M,O$ suy ra giao tuyến là đường thẳng $SI$ (kí hiệu tùy theo đặt tên điểm giao).

3. Xét mặt phẳng $(MOC)$. Giao của mặt phẳng này với mặt phẳng chứa $AB$ (tức $(ABC)$) là đường thẳng đi qua $C$ và giao của các đường tương ứng; suy ra giao tuyến là đường thẳng đi qua $C$ và điểm giao tương ứng.

4. Tương tự, giao của $(MOC)$ và mặt phẳng chứa $SB$ sẽ đi qua $S$ nếu $S$ thuộc một trong hai mặt phẳng xét; do đó xác định giao tuyến theo giao điểm chung có trong hình gốc.

Ghi chú: phần này trong sách sử dụng các điểm giao cụ thể (ví dụ $I,J,K,\dots$) để biểu diễn; cách làm chung là tìm các giao điểm trong mặt đáy rồi nối với đỉnh tương ứng (thường là $S$ hoặc $M$) để có giao tuyến.

Ví dụ 4 Cho tứ diện $SABC$ có hai điểm $M,N$ lần lượt thuộc hai cạnh $SA, SB$ và $O$ là điểm nằm trong tam giác $ABC$. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

Đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(SOC)$;
Đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SOC)$;
Đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(CMN)$.

Lời giải.

1. Trong mặt phẳng $(ABC)$, gọi $E = AB \cap CO$ (nếu tồn tại điểm giao), ta có $E \in AB$ và $E \in (SOC)$ khi $C,O$ thuộc mặt phẳng $(SOC)$. Khi đó giao tuyến là $E$ (hoặc đường thẳng xác định bởi các điểm chung nếu có).

2. Chọn mặt phẳng chứa $MN$ và điểm $C$ để xét giao với $(SOC)$; giao tuyến là đường thẳng là giao của hai mặt phẳng đó — thường xác định bằng một trong các điểm giao đã biết như $S$ hoặc điểm giao của cạnh đáy tương ứng với $MN$.

3. Giao của đường thẳng $SO$ với mặt phẳng $(CMN)$ là điểm $T = SO \cap (CMN)$ (nếu tồn tại). Cách tìm: dựng mặt phẳng chứa $SO$ và một điểm thuộc $(CMN)$ rồi tìm giao với $(CMN)$; giao là một đường thẳng đi qua $T$ hoặc chính $SO$ cắt mặt phẳng tại một điểm.

Ghi chú: để chính xác hơn cần đặt tên các giao điểm trong đáy (ví dụ $P = AB\cap CO$, $Q = MN \cap AC$, v.v.) và áp dụng nguyên tắc: giao của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua hai điểm nằm trong cả hai mặt phẳng.