BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

Giá trị đại diện của nhóm \([20; 40)\) được tính bằng trung bình cộng của mút đầu và mút cuối nhóm:

\[x_2 = \frac{20 + 40}{2} = 30\]

Chọn C.

Mẫu số liệu ghép nhóm chỉ có một nhóm mang tần số lớn nhất độc lập (nhóm \([40; 60)\) có tần số \(n_3 = 12\)), nên mẫu số liệu này chỉ có đúng 1 mốt.

Chọn B.

Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm \([40; 60)\) với tần số \(n_3 = 12\). Do đó nhóm chứa mốt là \([40; 60)\).

Chọn B.

Tổng số học sinh là \(n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42\).

Xét vị trí \(\frac{n}{4} = \frac{42}{4} = 10,5\).

Tần số tích lũy:

• Nhóm 1 \([0; 20)\): 5
• Nhóm 2 \([20; 40)\): \(5 + 9 = 14\)

Vì giá trị thứ 10,5 nằm trong khoảng tích lũy từ 6 đến 14, nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\) là nhóm \([20; 40)\).

Chọn B.

Cỡ mẫu \(n = 42\). Vị trí trung vị là \(\frac{n}{2} = \frac{42}{2} = 21\).

Tần số tích lũy:

• Nhóm 1 \([0; 20)\): 5
• Nhóm 2 \([20; 40)\): 14
• Nhóm 3 \([40; 60)\): \(14 + 12 = 26\)

Vì giá trị thứ 21 nằm trong khoảng tích lũy từ 15 đến 26, nên nhóm chứa trung vị \(Me\) là nhóm \([40; 60)\).

Chọn C.

Ta xác định giá trị đại diện cho từng nhóm độ tuổi:

• Nhóm "Dưới 5 tuổi": Lấy giá trị đại diện \(x_1 = 2,5\) (từ 0 đến 5).
• Nhóm "5 - 14": \(x_2 = \frac{5 + 14}{2} = 9,5\).
• Nhóm "15 - 24": \(x_3 = \frac{15 + 24}{2} = 19,5\).
• Nhóm "25 - 64": \(x_4 = \frac{25 + 64}{2} = 44,5\).
• Nhóm "Trên 65": Lấy giá trị đại diện theo đề bài \(x_5 = 80\).

Tổng số dân là: \(n = 7,89 + 14,68 + 13,32 + 53,78 + 7,66 = 97,33\) (triệu người).

Tuổi trung bình của người Việt Nam năm 2020 là:

\[\overline{x} = \frac{7,89 \cdot 2,5 + 14,68 \cdot 9,5 + 13,32 \cdot 19,5 + 53,78 \cdot 44,5 + 7,66 \cdot 80}{97,33}\] \[= \frac{19,725 + 139,46 + 259,74 + 2393,21 + 612,8}{97,33} = \frac{3424,935}{97,33} \approx 35,19 \text{ (tuổi)}\]

Vậy tuổi trung bình của người Việt Nam năm 2020 là khoảng 35,19 tuổi.

Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm \([60; 80)\) với tần số \(n_4 = 31\).

Do đó, nhóm chứa mốt là \([60; 80)\) với:

• \(u_4 = 60\) (mút trái)
• \(o_4 = 20\) (độ rộng nhóm)
• \(n_4 = 31\) (tần số nhóm chứa mốt)
• \(n_3 = 23\) (tần số nhóm liền trước)
• \(n_5 = 29\) (tần số nhóm liền sau)

Áp dụng công thức tính mốt:

\[M_o = 60 + \frac{31 - 23}{(31 - 23) + (31 - 29)} \cdot 20 = 60 + \frac{8}{8 + 2} \cdot 20 = 60 + \frac{8}{10} \cdot 20 = 60 + 16 = 76 \text{ (ngày)}\]

Ý nghĩa: Tuổi thọ phổ biến nhất của loài ong trong mẫu thống kê là khoảng 76 ngày.

Điểm ngưỡng để đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất chính là tìm tứ phân vị thứ ba (\(Q_3\)) của mẫu số liệu.

Tổng số trường đại học là: \(n = 4 + 19 + 6 + 2 + 3 + 1 = 35\) trường.

Xét vị trí \(\frac{3n}{4} = \frac{3 \cdot 35}{4} = 26,25\).

Ta lập bảng tần số tích lũy:

• Nhóm 1 "Dưới 20" (hiểu là \([0; 20)\)): 4
• Nhóm 2 \([20; 30)\): \(4 + 19 = 23\)
• Nhóm 3 \([30; 40)\): \(23 + 6 = 29\)

Vì giá trị tích lũy đến hết nhóm 2 là 23, và đến nhóm 3 là 29, nên vị trí 26,25 thuộc về nhóm thứ ba: \([30; 40)\).

Áp dụng công thức tính tứ phân vị thứ ba:

\[Q_3 = u_3 + \frac{\frac{3n}{4} - cf_2}{n_3} \cdot o_3\]

Trong đó:

• \(u_3 = 30\) (mút trái nhóm 3)
• \(cf_2 = 23\) (tần số tích lũy đến hết nhóm 2)
• \(n_3 = 6\) (tần số nhóm 3)
• \(o_3 = 10\) (độ rộng nhóm 3: \(40 - 30 = 10\))

Thay số vào tính:

\[Q_3 = 30 + \frac{26,25 - 23}{6} \cdot 10 = 30 + \frac{3,25}{6} \cdot 10 = 30 + \frac{32,5}{6} \approx 35,42\]

Vậy điểm ngưỡng để đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất là khoảng 35,42 điểm.