11-c3-b9. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm-LT

Bài học Toán THPT - Các Số Đặc Trưng Đo Xu Thế Trung Tâm

1. Số trung bình (\(\bar{x}\))

📌 Công thức tính Số trung bình:

Giả sử nhóm \([a_i; a_{i+1})\) có giá trị đại diện \(x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}\) và tần số tương ứng là \(n_i\). Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\[ \bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n} \]

trong đó \(n = n_1 + n_2 + \dots + n_k\) là cỡ mẫu.

💡 Ý nghĩa: Số trung bình xấp xỉ cho đại lượng trung bình của mẫu số liệu gốc, đại diện cho vị trí trung tâm của mẫu số liệu.

2. Trung vị (\(M_e\))

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành hai phần có số lượng quan sát bằng nhau.

📌 Các bước tìm Trung vị \(M_e\):

Bước 1: Xác định cỡ mẫu \(n\). Nhóm chứa trung vị là nhóm \([a_p; a_{p+1})\) đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{2}\) (tức là \(n_1 + n_2 + \dots + n_p \ge \frac{n}{2}\)).
Bước 2: Áp dụng công thức nội suy tìm trung vị: \[ M_e = a_p + \frac{\frac{n}{2} - (n_1 + n_2 + \dots + n_{p-1})}{n_p} \cdot (a_{p+1} - a_p) \]

⚠️ Ký hiệu trong công thức:

\(a_p\): Đầu mút trái của nhóm chứa trung vị.
\(a_{p+1} - a_p\): Độ dài của nhóm chứa trung vị.
\(n_p\): Tần số của nhóm chứa trung vị.
\(n_1 + \dots + n_{p-1}\): Tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa trung vị (nếu \(p=1\) thì tổng này bằng 0).

3. Tứ phân vị (\(Q_1, Q_2, Q_3\))

Bộ ba tứ phân vị chia mẫu số liệu thành 4 phần có số lượng giá trị xấp xỉ bằng nhau.

📌 Công thức xác định Tứ phân vị:

Tứ phân vị thứ hai: \(Q_2 = M_e\) (chính là trung vị).
Tứ phân vị thứ nhất (\(Q_1\)):
Xác định nhóm chứa \(Q_1\) là nhóm \([a_p; a_{p+1})\) có tần số tích lũy đầu tiên \(\ge \frac{n}{4}\):
\[ Q_1 = a_p + \frac{\frac{n}{4} - (n_1 + \dots + n_{p-1})}{n_p} \cdot (a_{p+1} - a_p) \]
Tứ phân vị thứ ba (\(Q_3\)):
Xác định nhóm chứa \(Q_3\) là nhóm \([a_q; a_{q+1})\) có tần số tích lũy đầu tiên \(\ge \frac{3n}{4}\):
\[ Q_3 = a_q + \frac{\frac{3n}{4} - (n_1 + \dots + n_{q-1})}{n_q} \cdot (a_{q+1} - a_q) \]

4. Mốt (\(M_o\))

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu.

📌 Các bước xác định Mốt \(M_o\):

Bước 1: Tìm nhóm có tần số lớn nhất, gọi là nhóm chứa mốt \([a_i; a_{i+1})\) (tần số \(n_i\)).
Bước 2: Áp dụng công thức: \[ M_o = a_i + \frac{n_i - n_{i-1}}{(n_i - n_{i-1}) + (n_i - n_{i+1})} \cdot (a_{i+1} - a_i) \]

💡 Chú ý:

\(n_{i-1}\) là tần số của nhóm ngay trước nhóm chứa mốt (nếu không có thì bằng 0).
\(n_{i+1}\) là tần số của nhóm ngay sau nhóm chứa mốt (nếu không có thì bằng 0).
Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều mốt nếu có nhiều nhóm cùng có tần số lớn nhất.

5. Luyện tập tổng hợp

Bài toán mẫu Tính đầy đủ các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Khảo sát thời gian chiếu sáng (giờ) của 40 bóng đèn được thống kê trong bảng sau:

Thời gian (giờ)	\([1000; 1200)\)	\([1200; 1400)\)	\([1400; 1600)\)	\([1600; 1800)\)	\([1800; 2000]\)
Số bóng đèn (\(n_i\))	5	12	15	6	2

Hãy tính: a) Số trung bình (\(\bar{x}\)), b) Trung vị (\(M_e\)), c) Mốt (\(M_o\)).

Lời giải chi tiết:

Cỡ mẫu \(n = 5 + 12 + 15 + 6 + 2 = 40\).

a) Tính số trung bình (\(\bar{x}\)):

Giá trị đại diện các nhóm lần lượt là: \(x_1 = 1100, x_2 = 1300, x_3 = 1500, x_4 = 1700, x_5 = 1900\).

\[ \bar{x} = \frac{5 \cdot 1100 + 12 \cdot 1300 + 15 \cdot 1500 + 6 \cdot 1700 + 2 \cdot 1900}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{5500 + 15600 + 22500 + 10200 + 3800}{40} = \frac{57600}{40} = 1440 \text{ (giờ)} \]

b) Tính Trung vị (\(M_e\)):

Ta có \(\frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20\).

Tần số tích lũy các nhóm: nhóm 1 bằng 5, nhóm 2 bằng \(5+12 = 17\), nhóm 3 bằng \(17+15 = 32 \ge 20\).

\(\Rightarrow\) Nhóm chứa trung vị là nhóm thứ 3: \([1400; 1600)\) với \(a_3 = 1400\), \(n_3 = 15\), độ dài nhóm \(h = 200\).

\[ M_e = 1400 + \frac{20 - 17}{15} \cdot 200 = 1400 + \frac{3}{15} \cdot 200 = 1440 \text{ (giờ)} \]

c) Tính Mốt (\(M_o\)):

Tần số lớn nhất là \(15\) thuộc nhóm \([1400; 1600)\). Tần số nhóm trước là \(n_2 = 12\), nhóm sau là \(n_4 = 6\).

\[ M_o = 1400 + \frac{15 - 12}{(15 - 12) + (15 - 6)} \cdot (1600 - 1400) \] \[ M_o = 1400 + \frac{3}{3 + 9} \cdot 200 = 1400 + \frac{1}{4} \cdot 200 = 1450 \text{ (giờ)} \]

6. Ghi nhớ & Mẹo làm bài

🎯 Tóm tắt công thức cốt lõi:

Đại lượng	Điều kiện nhóm	Công thức
Trung vị (\(M_e\))	Tần số tích lũy \(\ge \frac{n}{2}\)	\(a_p + \frac{\frac{n}{2} - \sum n_{trước}}{n_p} \cdot L\)
Tứ phân vị (\(Q_1\))	Tần số tích lũy \(\ge \frac{n}{4}\)	\(a_p + \frac{\frac{n}{4} - \sum n_{trước}}{n_p} \cdot L\)
Tứ phân vị (\(Q_3\))	Tần số tích lũy \(\ge \frac{3n}{4}\)	\(a_q + \frac{\frac{3n}{4} - \sum n_{trước}}{n_q} \cdot L\)
Mốt (\(M_o\))	Nhóm có tần số \(n_i\) lớn nhất	\(a_i + \frac{n_i - n_{i-1}}{(n_i - n_{i-1}) + (n_i - n_{i+1})} \cdot L\)

💡 Mẹo tránh sai sót khi làm bài thi: