BÀI 9: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)
5 3 10 20 25 11 13 7 12 31 19 10 12 17 18 11 32 17 16 2
7 9 7 8 3 5 12 15 18 3 12 14 2 9 6 15 15 7 6 12.
a) Ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là \([0; 5)\). Tìm giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
b) Tính số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào chính xác hơn?
c) Xác định nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm thu được.
a) Ghép nhóm và tìm giá trị đại diện:
Dữ liệu có giá trị nhỏ nhất là 2, lớn nhất là 32. Khoảng biến thiên là \(32 - 2 = 30\). Chọn độ rộng mỗi nhóm là 5, ta có 7 nhóm:
| Nhóm (km) | [0; 5) | [5; 10) | [10; 15) | [15; 20) | [20; 25) | [25; 30) | [30; 35) | Tổng |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số (\(n_i\)) | 5 | 10 | 13 | 7 | 2 | 1 | 2 | 40 |
| Giá trị đại diện (\(x_i\)) | 2,5 | 7,5 | 12,5 | 17,5 | 22,5 | 27,5 | 32,5 | - |
b) Tính số trung bình:
- Số trung bình của mẫu không ghép nhóm:
Tổng tất cả 40 số liệu là: 485.
\(\overline{x} = \frac{485}{40} = 12,125 \text{ (km)}\). - Số trung bình của mẫu ghép nhóm:
\(\overline{x}_g = \frac{5 \cdot 2,5 + 10 \cdot 7,5 + 13 \cdot 12,5 + 7 \cdot 17,5 + 2 \cdot 22,5 + 1 \cdot 27,5 + 2 \cdot 32,5}{40} = \frac{492,5}{40} = 12,3125 \text{ (km)}\).
So sánh: Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm chính xác hơn vì nó sử dụng giá trị thực tế của từng phần tử, trong khi mẫu ghép nhóm chỉ dùng giá trị đại diện xấp xỉ.
c) Xác định nhóm chứa mốt:
Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm \([10; 15)\) với tần số \(n_3 = 13\). Vậy nhóm chứa mốt là \([10; 15)\).
| Tuổi thọ (năm) | [2; 2,5) | [2,5; 3) | [3; 3,5) | [3,5; 4) | [4; 4,5) | [4,5; 5) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | 4 | 9 | 14 | 11 | 7 | 5 |
b) Tính tuổi thọ trung bình của 50 bình ắc quy ô tô này.
a) Xác định mốt và ý nghĩa:
- Nhóm có tần số lớn nhất là \([3; 3,5)\) với tần số \(n_3 = 14\) (\(u_3 = 3, o_3 = 0,5, n_2 = 9, n_4 = 11\)).
- Áp dụng công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: \[M_o = 3 + \frac{14 - 9}{(14 - 9) + (14 - 11)} \cdot 0,5 = 3 + \frac{5}{5 + 3} \cdot 0,5 = 3 + \frac{2,5}{8} = 3,3125 \text{ (năm)}\]
Ý nghĩa: Tuổi thọ phổ biến nhất của các bình ắc quy ô tô khoảng 3,31 năm (hoặc 3 năm 4 tháng).
b) Tính tuổi thọ trung bình:
Các giá trị đại diện lần lượt là: \(2,25; 2,75; 3,25; 3,75; 4,25; 4,75\).
Tuổi thọ trung bình là:
\[\overline{x} = \frac{4 \cdot 2,25 + 9 \cdot 2,75 + 14 \cdot 3,25 + 11 \cdot 3,75 + 7 \cdot 4,25 + 5 \cdot 4,75}{50} = \frac{177,5}{50} = 3,55 \text{ (năm)}\]| Điểm | 0 - 9 | 10 - 19 | 20 - 29 | 30 - 39 | 40 - 49 |
|---|---|---|---|---|---|
| Số thí sinh | 1 | 2 | 4 | 6 | 15 |
| Điểm | 50 - 59 | 60 - 69 | 70 - 79 | 80 - 89 | 90 - 99 |
| Số thí sinh | 12 | 10 | 6 | 3 | 1 |
b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.
a) Hiệu chỉnh thành dạng nửa khoảng \([a; b)\):
Vì điểm được làm tròn đến số nguyên nên ta hiệu chỉnh các mút trái trừ \(0,5\) và mút phải cộng \(0,5\):
| Điểm | [-0,5; 9,5) | [9,5; 19,5) | [19,5; 29,5) | [29,5; 39,5) | [39,5; 49,5) |
|---|---|---|---|---|---|
| Số thí sinh | 1 | 2 | 4 | 6 | 15 |
| Điểm | [49,5; 59,5) | [59,5; 69,5) | [69,5; 79,5) | [79,5; 89,5) | [89,5; 99,5) |
| Số thí sinh | 12 | 10 | 6 | 3 | 1 |
b) Tìm các tứ phân vị:
Cỡ mẫu \(n = 60\).
- Tứ phân vị thứ nhất (\(Q_1\)):
Xét \(\frac{n}{4} = \frac{60}{4} = 15\). Tần số tích lũy: nhóm 1 (1), nhóm 2 (3), nhóm 3 (7), nhóm 4 (13), nhóm 5 (28).
Nhóm chứa \(Q_1\) là nhóm thứ 5: \([39,5; 49,5)\) có \(u_2 = 39,5; n_5 = 15; cf_4 = 13; o_5 = 10\). \[Q_1 = 39,5 + \frac{\frac{60}{4} - 13}{15} \cdot 10 = 39,5 + \frac{2}{15} \cdot 10 \approx 40,83\] - Tứ phân vị thứ hai (\(Q_2\) hay Trung vị \(Me\)):
Xét \(\frac{n}{2} = 30\). Nhóm chứa \(Q_2\) là nhóm thứ 6: \([49,5; 59,5)\) có \(u_6 = 49,5; n_6 = 12; cf_5 = 28; o_6 = 10\). \[Q_2 = 49,5 + \frac{30 - 28}{12} \cdot 10 = 49,5 + \frac{2}{12} \cdot 10 \approx 51,17\] - Tứ phân vị thứ ba (\(Q_3\)):
Xét \(\frac{3n}{4} = 45\). Tần số tích lũy đến nhóm 7 là \(28 + 10 = 38\), đến nhóm 8 là \(38 + 6 = 44\), đến nhóm 9 là \(44 + 3 = 47\).
Nhóm chứa \(Q_3\) là nhóm thứ 9: \([69,5; 79,5)\) có \(u_9 = 69,5; n_9 = 6; cf_8 = 44; o_9 = 10\). \[Q_3 = 69,5 + \frac{45 - 44}{6} \cdot 10 = 69,5 + \frac{1}{6} \cdot 10 \approx 71,17\]
Ý nghĩa: Khoảng 25% thí sinh có điểm dưới 40,83; khoảng 50% thí sinh đạt điểm dưới 51,17 và khoảng 75% thí sinh đạt điểm dưới 71,17.
| Thời gian | Số học sinh nam | Số học sinh nữ |
|---|---|---|
| [4; 5) | 6 | 4 |
| [5; 6) | 10 | 8 |
| [6; 7) | 13 | 10 |
| [7; 8) | 9 | 11 |
| [8; 9) | 7 | 8 |
b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?
a) So sánh thời gian ngủ trung bình của nam và nữ:
- Tổng số học sinh nam là: \(6 + 10 + 13 + 9 + 7 = 45\).
Giá trị đại diện các nhóm: \(4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5\).
Thời gian ngủ trung bình của nam: \[\overline{x}_{nam} = \frac{6 \cdot 4,5 + 10 \cdot 5,5 + 13 \cdot 6,5 + 9 \cdot 7,5 + 7 \cdot 8,5}{45} = \frac{298,5}{45} \approx 6,63 \text{ (giờ)}\] - Tổng số học sinh nữ là: \(4 + 8 + 10 + 11 + 8 = 41\).
Thời gian ngủ trung bình của nữ: \[\overline{x}_{nữ} = \frac{4 \cdot 4,5 + 8 \cdot 5,5 + 10 \cdot 6,5 + 11 \cdot 7,5 + 8 \cdot 8,5}{41} = \frac{285,5}{41} \approx 6,96 \text{ (giờ)}\]
So sánh: Thời gian ngủ trung bình của học sinh nữ (\(\approx 6,96\) giờ) cao hơn so với học sinh nam (\(\approx 6,63\) giờ).
b) Tìm giá trị để 75% học sinh ngủ ít nhất bao nhiêu giờ:
Tổng số học sinh khối 11 là: \(45 + 41 = 86\) học sinh.
75% học sinh ngủ ít nhất \(Q_1\) giờ (tức là tìm tứ phân vị thứ nhất \(Q_1\) của toàn bộ mẫu số liệu gộp chung cả nam và nữ).
Lập bảng tần số gộp chung:
| Thời gian | [4; 5) | [5; 6) | [6; 7) | [7; 8) | [8; 9) |
|---|---|---|---|---|---|
| Tổng số HS | 10 | 18 | 23 | 20 | 15 |
Tần số tích lũy: nhóm 1 (10), nhóm 2 (28).
Xét \(\frac{n}{4} = \frac{86}{4} = 21,5\). Nhóm chứa \(Q_1\) là nhóm thứ hai: \([5; 6)\) với \(u_2 = 5, n_2 = 18, cf_1 = 10, o_2 = 1\).
\[Q_1 = 5 + \frac{21,5 - 10}{18} \cdot 1 = 5 + \frac{11,5}{18} \approx 5,64 \text{ (giờ)}\]Do đó, có khoảng 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất khoảng 5,64 giờ (tương đương khoảng 5 giờ 38 phút).