11-c3-b8. Mẫu số liệu ghép nhóm -LT

Bài học Toán THPT - Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

1. Khái niệm Mẫu số liệu ghép nhóm

📌 Định nghĩa:

Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số của các nhóm số liệu. Mỗi nhóm số liệu là một nửa khoảng, khoảng hoặc đoạn có dạng \([a_i; a_{i+1})\), trong đó \(a_i < a_{i+1}\).

Tần số \(n_i\) của nhóm \([a_i; a_{i+1})\) là số giá trị của mẫu số liệu rơi vào nhóm đó. Tổng các tần số \(n = m_1 + m_2 + \dots + m_k\) gọi là cỡ mẫu.

Bảng tần số ghép nhóm dạng tổng quát:

Nhóm giá trị	\([a_1; a_2)\)	\([a_2; a_3)\)	\(\dots\)	\([a_k; a_{k+1})\)
Tần số	\(m_1\)	\(m_2\)	\(\dots\)	\(m_k\)

💡 Các yếu tố quan trọng của một nhóm:

Độ dài của nhóm \([a_i; a_{i+1})\) là \(L_i = a_{i+1} - a_i\). Thông thường ta chia thành các nhóm có độ dài bằng nhau.
Giá trị đại diện của nhóm \([a_i; a_{i+1})\) là trung điểm của nhóm: \(x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}\).

2. Phương pháp chuyển mẫu số liệu sang ghép nhóm

Để ghép nhóm một mẫu số liệu gồm \(n\) giá trị chưa ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định khoảng biến thiên \(R = x_{\max} - x_{\min}\) (trong đó \(x_{\max}\) là giá trị lớn nhất, \(x_{\min}\) là giá trị nhỏ nhất).
Bước 2: Chọn số nhóm \(k\) (thường từ 4 đến 10 nhóm) và xác định độ dài nhóm \(d\) sao cho \(d > \frac{R}{k}\).
Bước 3: Xác định các nhóm \([a_1; a_2), [a_2; a_3), \dots, [a_k; a_{k+1}]\) sao cho nhóm đầu tiên chứa \(x_{\min}\) và nhóm cuối chứa \(x_{\max}\).
Bước 4: Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm (tần số \(n_i\)) và lập bảng tần số ghép nhóm.

⚠️ Lưu ý về quy tắc phân nhóm:

Giá trị thuộc mút trái \(a_i\) sẽ tính vào nhóm \([a_i; a_{i+1})\).
Giá trị thuộc mút phải \(a_{i+1}\) sẽ tính vào nhóm kế tiếp \([a_{i+1}; a_{i+2})\).

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Xác định giá trị đại diện và tần số

Khảo sát thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của 30 học sinh được cho bởi bảng ghép nhóm sau:

Thời gian (phút)	\([5; 10)\)	\([10; 15)\)	\([15; 20)\)	\([20; 25)\)
Số học sinh	6	11	9	4

a) Xác định cỡ mẫu và độ dài của từng nhóm.

b) Xác định giá trị đại diện của từng nhóm.

Lời giải:

a) Cỡ mẫu \(n = 6 + 11 + 9 + 4 = 30\) học sinh.

Độ dài của mỗi nhóm là \(L = 10 - 5 = 15 - 10 = 20 - 15 = 25 - 20 = 5\) (phút).

b) Giá trị đại diện \(x_i\) của các nhóm:

Nhóm \([5; 10)\): \(x_1 = \frac{5 + 10}{2} = 7{,}5\)
Nhóm \([10; 15)\): \(x_2 = \frac{10 + 15}{2} = 12{,}5\)
Nhóm \([15; 20)\): \(x_3 = \frac{15 + 20}{2} = 17{,}5\)
Nhóm \([20; 25]\): \(x_4 = \frac{20 + 25}{2} = 22{,}5\)

Ví dụ 2 Thực hành ghép nhóm mẫu số liệu

Chiều cao (cm) của 10 học sinh được ghi lại như sau: \(152, 155, 158, 160, 162, 164, 165, 168, 170, 172\). Hãy ghép nhóm số liệu trên thành 4 nhóm có độ dài bằng nhau, bắt đầu từ nhóm \([150; 156)\).

Lời giải:

Độ dài mỗi nhóm là \(d = 156 - 150 = 6\) cm. Ta chia thành 4 nhóm:

Nhóm \([150; 156)\): gồm các giá trị \(152, 155 \Rightarrow m_1 = 2\)
Nhóm \([156; 162)\): gồm các giá trị \(158, 160 \Rightarrow m_2 = 2\)
Nhóm \([162; 168)\): gồm các giá trị \(162, 164, 165 \Rightarrow m_3 = 3\)
Nhóm \([168; 174)\): gồm các giá trị \(168, 170, 172 \Rightarrow m_4 = 3\)

Bảng tần số ghép nhóm:

Chiều cao (cm)	\([150; 156)\)	\([156; 162)\)	\([162; 168)\)	\([168; 174)\)
Số học sinh	2	2	3	3

4. Luyện tập tự giải

Bài 1: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về cân nặng (kg) của 40 học sinh:

Cân nặng (kg)	\([40; 45)\)	\([45; 50)\)	\([50; 55)\)	\([55; 60)\)	\([60; 65)\)
Số học sinh	5	12	14	6	3

a) Hãy chỉ ra các khoảng nhóm và tần số tương ứng.

b) Xác định các giá trị đại diện cho từng nhóm số liệu.

Bài 2: Điểm kiểm tra môn Toán của 12 học sinh là: \(5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9\).

Hãy ghép mẫu số liệu trên vào 3 nhóm: \([4; 6)\), \([6; 8)\), \([8; 10)\) và lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng.

5. Vận dụng thực tế

📌 Bài toán tổ chức dữ liệu tiêu thụ điện:

Công ty điện lực thống kê lượng điện tiêu thụ (kWh) trong một tháng của 50 hộ gia đình thu được kết quả sau:

Điện tiêu thụ (kWh)	\([100; 150)\)	\([150; 200)\)	\([200; 250)\)	\([250; 300)\)
Số hộ	15	20	10	5

Ý nghĩa thực tiễn: Việc ghép nhóm dữ liệu tiêu thụ điện giúp công ty điện lực phân loại đối tượng khách hàng (tiêu thụ ít, trung bình, nhiều) để từ đó tính toán áp giá điện theo bậc thang và lên kế hoạch điều phối tải điện hợp lý cho từng khu vực.

6. Ghi nhớ & Mẹo làm bài

🎯 Kiến thức cốt lõi cần nhớ:

Cỡ mẫu \(n\): Tổng tất cả tần số các nhóm \(n = n_1 + n_2 + \dots + n_k\).
Giá trị đại diện \(x_i\): Điểm chính giữa của nhóm \([a_i; a_{i+1})\), tính theo công thức \(x_i = \frac{a_i + a_{i+1}}{2}\).
Độ dài nhóm \(L\): Bằng mút phải trừ mút trái \(a_{i+1} - a_i\).

💡 Mẹo phân loại dữ liệu khi đếm:

Khi xếp một số liệu rơi đúng vào ranh giới (ví dụ số 150 rơi vào giữa nhóm \([100; 150)\) và \([150; 200)\)), hãy nhớ nguyên tắc: Mút trái ngoặc vuông \([\) thì lấy, mút phải ngoặc tròn \()\) thì bỏ. Do đó 150 sẽ thuộc vào nhóm \([150; 200)\).