Giải

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, chứa điểm $x=-1$.

Ta có: $f(-1) = \dfrac{2(-1)^2 + 5(-1)}{-1 - 1} = \dfrac{2 - 5}{-2} = \dfrac{-3}{-2} = \dfrac{3}{2}$.

$\displaystyle \lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \dfrac{2x^2 + 5x}{x - 1} = \dfrac{2(-1)^2 + 5(-1)}{(-1)-1} = \dfrac{2 - 5}{-2} = \dfrac{3}{2}$.

Suy ra $\lim_{x \to -1} f(x) = f(-1)$.

Vậy hàm số $y=f(x)$ liên tục tại điểm $x=-1$.

b) Tập xác định của hàm số $g(x)$ là $\mathbb{R}$, chứa điểm $x=-1$.

Ta có: $g(-1)=0$;

$\displaystyle \lim_{x \to -1} g(x) = \lim_{x \to -1} \dfrac{x+1}{x-1} = \dfrac{-1+1}{-1-1} = 0.$

Suy ra $\lim_{x \to -1} g(x) \ne g(-1)$.

Vậy hàm số $y=g(x)$ không liên tục tại điểm $x=-1$.

Giải

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$, chứa điểm $x=3$.

Ta có $f(3)=3$.

$\displaystyle \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3}(x^2 - 3x) = 9 - 9 = 0.$

Vì $\lim_{x \to 3} f(x) \ne f(3)$ nên hàm số $y=f(x)$ không liên tục tại $x=3$.

Giải

a) Ta có $x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$ nên $f(x)$ xác định khi $x \ne -1,3$.

Vì $f(x)$ là phân thức có tử và mẫu là đa thức nên $f(x)$ liên tục trên từng khoảng xác định.

Do đó $f(x)$ liên tục trên các khoảng $(-\infty,-1)$, $(-1,3)$, $(3,+\infty)$.

b) Điều kiện: \[ \begin{cases} 3x + 6 \ge 0\\ 3 - x > 0 \end{cases} \Rightarrow -2 \le x < 3. \]

Hàm $g(x)$ có tập xác định $D = [-2,3)$.

Hàm số lượng giác và căn thức đều liên tục trên miền xác định nên $g(x)$ liên tục trên $[-2,3)$.

Giải

Hàm $f(x)$ là phân thức có tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ nên chỉ có thể gián đoạn tại $x=1$.

Ta có $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + a x + 2}{x - 1}$.

Để hàm số liên tục tại $x=1$ cần $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = b$.

Ta biến đổi tử: $x^2 + a x + 2 = (x - 1)(x + 1) + (a + 3)(x - 1) + (a - 3)$.

Vì $\lim_{x \to 1} f(x)$ hữu hạn nên hệ số của $(x-1)$ trong tử phải triệt tiêu mẫu, tức $a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3$.

Thay $a = 3$ vào, ta có: $\displaystyle f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x - 1} = \dfrac{(x - 1)(x + 4) + 5}{x - 1} = x + 4 + \dfrac{5}{x - 1}$.

Suy ra $\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 1 + 4 = 5$.

Để liên tục tại $x=1$ thì $b = 5$.

Vậy $a=3, b=5$ là các số cần tìm.