Giải

a) Giả sử \(f(x)\) là dãy số bất kỳ thỏa mãn \(x_n\to 1\). Ta có:

\(\displaystyle \frac{x^2-x}{x-1}=\frac{x(x-1)}{x-1}=x\) (với \(x\ne1\)). Vì vậy \(\lim_{x\to1}\frac{x^2-x}{x-1}=1\).

b) Ta có

\(\displaystyle \frac{2x^2-5x}{x^2+2}=\frac{2-\frac{5}{x}}{1+\frac{2}{x^2}}\). Khi \(x\to+\infty\) các thành phần \(\frac{5}{x},\frac{2}{x^2}\to0\). Do đó giới hạn bằng \(2\).

Giải

a) Ta viết \((2-x)=-(x-2)\) nên

\(\displaystyle \frac{(3x+1)(2-x)}{x-2}=\frac{(3x+1)\cdot(-(x-2))}{x-2}=-(3x+1)\).

Khi \(x\to2\) giá trị là \(-(3\cdot2+1)=-(6+1)=-7\).

b) Với \(x\to\infty\), \(\sqrt{x^2-6x}=x\sqrt{1-\frac{6}{x}}\). Do đó

\(\displaystyle \frac{4x+10}{\sqrt{x^2-6x}}=\frac{x(4+\frac{10}{x})}{x\sqrt{1-\frac{6}{x}}}=\frac{4+\frac{10}{x}}{\sqrt{1-\frac{6}{x}}}\to \frac{4}{1}=4\).

Giải

a) Nhân liên hợp:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\frac{x+3-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}.\)

Khi \(x\to1\) ta được \(\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}\).

b) (Chép nguyên văn nội dung trong ảnh) Ta có:

\(\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x-1}+1)}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}=\lim_{x\to2}\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}.\)

Giải

a) Nhân liên hợp:

\(\displaystyle \frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}=\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\frac{1+x-(1-x)}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\frac{2x}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}.\)

Khi \(x\to0\) ta được \(\frac{2}{1+1}=1\).

b) \(\displaystyle \frac{x^2+3x+1-5}{x-1}=\frac{x^2+3x-4}{x-1}=\frac{(x-1)(x+4)}{x-1}=x+4\). Khi \(x\to1\) được \(5\).

Giải

a) Dùng khai triển Taylor: \(\tan x = x + \tfrac{x^3}{3} + o(x^3)\). Vì vậy

\(\displaystyle \frac{\tan x - x}{x^3}\to \frac{1}{3}.\)

b) Nhân liên hợp:

\(\displaystyle \sqrt{x^2+4x}-x=\frac{(\sqrt{x^2+4x}-x)(\sqrt{x^2+4x}+x)}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}.\)

Chia tử mẫu cho \(x\): \(\displaystyle =\frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}\to\frac{4}{2}=2.\)

Giải

a) Chia cho \(x^2\):

\(\displaystyle \frac{2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2}}\to 2\) khi \(x\to -\infty\).

b) Giới hạn cơ bản của hàm mũ: \(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\).

Giải

Do \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^2+ax+b}{x-1}\) hữu hạn nên tử số phải bằng \(0\) tại \(x=1\). Vậy \(1+a+b=0\). (1)

Nếu \(f(x)=x^2+ax+b\) thì \(f'(x)=2x+a\). Khi \(x\to1\),

\(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)=2+a.\)

Vì giới hạn bằng \(4\) nên \(2+a=4\Rightarrow a=2\). Thay vào (1): \(1+2+b=0\Rightarrow b=-3\).

Vậy \(a=2,\; b=-3\).