BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II - TOÁN 11 (KNTT)

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II - TOÁN 11

CHỦ ĐỀ: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN (KNTT)

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN (12 CÂU)
Câu 1 (Nhận biết - Dãy số): Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = 2n + 1\). Số hạng thứ 3 của dãy số là:
Lời giải chi tiết:
Thay \(n = 3\) vào công thức \(u_n = 2n + 1\), ta có: \(u_3 = 2(3) + 1 = 7\).
Đáp án đúng: A
Câu 2 (Nhận biết - Dãy số): Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số tăng?
Lời giải chi tiết:
Xét dãy \(u_n = 3n - 1\), ta có \(u_{n+1} - u_n = [3(n+1) - 1] - (3n - 1) = 3 > 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\). Dãy số tăng.
Đáp án đúng: B
Câu 3 (Thông hiểu - Dãy số): Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = 2\) và \(u_{n+1} = u_n + 3\) với mọi \(n \ge 1\). Tìm số hạng \(u_4\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(u_1 = 2\); \(u_2 = 2 + 3 = 5\); \(u_3 = 5 + 3 = 8\); \(u_4 = 8 + 3 = 11\).
Đáp án đúng: C
Câu 4 (Thông hiểu - Dãy số): Dãy số nào sau đây bị chặn trên?
Lời giải chi tiết:
Với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), ta có \(u_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} < 1\). Do đó dãy bị chặn trên bởi 1.
Đáp án đúng: D
Câu 5 (Nhận biết - Cấp số cộng): Công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) là:
Lời giải chi tiết:
Công thức tổng quát của cấp số cộng là \(u_n = u_1 + (n - 1)d\).
Đáp án đúng: B
Câu 6 (Nhận biết - Cấp số cộng): Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 = 3\) và công sai \(d = 4\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lời giải chi tiết:
\(u_2 = u_1 + d = 3 + 4 = 7\).
Đáp án đúng: A
Câu 7 (Thông hiểu - Cấp số cộng): Cho cấp số cộng \((u_n)\) thỏa mãn \(u_1 = -2\) và \(u_5 = 10\). Công sai \(d\) của cấp số cộng bằng:
Lời giải chi tiết:
\(u_5 = u_1 + 4d \Leftrightarrow 10 = -2 + 4d \Leftrightarrow 4d = 12 \Leftrightarrow d = 3\).
Đáp án đúng: C
Câu 8 (Thông hiểu - Cấp số cộng): Tính tổng \(S_{10}\) của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng \((u_n)\) biết \(u_1 = 1\) và \(d = 2\).
Lời giải chi tiết:
\(S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d] \Rightarrow S_{10} = \frac{10}{2}[2(1) + 9(2)] = 5 \cdot (2 + 18) = 100\).
Đáp án đúng: D
Câu 9 (Nhận biết - Cấp số nhân): Công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) là:
Lời giải chi tiết:
Theo lý thuyết cấp số nhân: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\).
Đáp án đúng: A
Câu 10 (Nhận biết - Cấp số nhân): Dãy số nào sau đây là một cấp số nhân?
Lời giải chi tiết:
Dãy \(2; 4; 8; 16; 32\) là cấp số nhân với \(u_1 = 2\) và công bội \(q = 2\).
Đáp án đúng: C
Câu 11 (Thông hiểu - Cấp số nhân): Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1 = 3\) và \(u_2 = 6\). Số hạng \(u_5\) bằng:
Lời giải chi tiết:
Công bội \(q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{6}{3} = 2\).
Số hạng \(u_5 = u_1 \cdot q^4 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48\).
Đáp án đúng: B
Câu 12 (Thông hiểu - Cấp số nhân): Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1 = 2\) và công bội \(q = 3\). Tính tổng 5 số hạng đầu tiên \(S_5\).
Lời giải chi tiết:
\(S_n = \frac{u_1(q^n - 1)}{q - 1} \Rightarrow S_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = 3^5 - 1 = 243 - 1 = 242\).
Đáp án đúng: D
PHẦN II: TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4 CÂU)
Câu 1 (Thông hiểu - Dãy số): Cho dãy số \((u_n)\) có số hạng tổng quát \(u_n = \frac{2n - 1}{n + 1}\). Xét tính đúng/sai của các phát biểu sau:
ÝMệnh đềĐúngSai
aSố hạng đầu tiên của dãy số là \(u_1 = 1\)
bDãy số \((u_n)\) là dãy số tăng
cDãy số \((u_n)\) bị chặn trên bởi 2
dSố hạng \(u_n = \frac{3}{2}\) ứng với \(n = 4\)
Lời giải chi tiết:
a) **SAI**: Thay \(n = 1 \Rightarrow u_1 = \frac{2(1)-1}{1+1} = \frac{1}{2}\).
b) **ĐÚNG**: \(u_{n+1} - u_n = \frac{2n+1}{n+2} - \frac{2n-1}{n+1} = \frac{3}{(n+1)(n+2)} > 0 \Rightarrow\) dãy tăng.
c) **ĐÚNG**: \(u_n = 2 - \frac{3}{n+1} < 2\) với mọi \(n \ge 1\).
d) **SAI**: \(\frac{2n-1}{n+1} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 4n - 2 = 3n + 3 \Leftrightarrow n = 5\).
Đáp án: a-S, b-Đ, c-Đ, d-S
Câu 2 (Thông hiểu - Cấp số cộng): Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 = 4\) và công sai \(d = 3\). Xét tính đúng/sai:
ÝMệnh đềĐúngSai
aSố hạng tổng quát \(u_n = 3n + 1\)
bSố hạng thứ 10 của dãy là \(u_{10} = 34\)
cSố 31 là số hạng thứ 10 của cấp số cộng
dTổng 20 số hạng đầu tiên \(S_{20} = 620\)
Lời giải chi tiết:
a) **ĐÚNG**: \(u_n = u_1 + (n-1)d = 4 + 3(n-1) = 3n + 1\).
b) **SAI**: \(u_{10} = 3(10) + 1 = 31\).
c) **ĐÚNG**: \(3n + 1 = 31 \Leftrightarrow 3n = 30 \Leftrightarrow n = 10\).
d) **SAI**: \(S_{20} = \frac{20}{2}[2(4) + 19(3)] = 10(8 + 57) = 650 \ne 620\).
Đáp án: a-Đ, b-S, c-Đ, d-S
Câu 3 (Thực tế - Cấp số cộng): Anh Nam kí hợp đồng lao động với một công ty với mức lương năm đầu tiên là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai, mỗi năm lương của anh Nam được tăng thêm 12 triệu đồng. Xét tính đúng/sai:
ÝMệnh đềĐúngSai
aSố tiền lương hàng năm của anh Nam lập thành một cấp số cộng với \(u_1 = 120\) và \(d = 12\)
bSố tiền lương năm thứ 5 của anh Nam là 180 triệu đồng
cMức lương năm thứ 10 của anh Nam là 240 triệu đồng
dTổng số tiền lương anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc là 1,74 tỉ đồng
Lời giải chi tiết:
a) **ĐÚNG**: Lương tăng đều hằng năm nên lập thành CSC với \(u_1 = 120\), \(d = 12\).
b) **SAI**: \(u_5 = 120 + 4(12) = 168\) triệu đồng.
c) **SAI**: \(u_{10} = 120 + 9(12) = 228\) triệu đồng.
d) **ĐÚNG**: \(S_{10} = \frac{10}{2}[2(120) + 9(12)] = 5(240 + 108) = 1740\) triệu đồng \(= 1,74\) tỉ đồng.
Đáp án: a-Đ, b-S, c-S, d-Đ
Câu 4 (Thông hiểu - Cấp số nhân): Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1 = 2\) và \(u_4 = 54\). Xét tính đúng/sai:
ÝMệnh đềĐúngSai
aCông bội \(q\) của cấp số nhân bằng 2
bSố hạng thứ năm của dãy là \(u_5 = 162\)
cSố 486 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân
dTổng 6 số hạng đầu tiên \(S_6 = 728\)
Lời giải chi tiết:
a) **SAI**: \(u_4 = u_1 \cdot q^3 \Leftrightarrow 54 = 2q^3 \Leftrightarrow q^3 = 27 \Leftrightarrow q = 3\).
b) **ĐÚNG**: \(u_5 = u_4 \cdot q = 54 \cdot 3 = 162\).
c) **SAI**: \(u_n = 2 \cdot 3^{n-1} = 486 \Leftrightarrow 3^{n-1} = 243 = 3^5 \Leftrightarrow n - 1 = 5 \Leftrightarrow n = 6\) (số hạng thứ 6).
d) **ĐÚNG**: \(S_6 = \frac{2(3^6 - 1)}{3 - 1} = 3^6 - 1 = 729 - 1 = 728\).
Đáp án: a-S, b-Đ, c-S, d-Đ
PHẦN III: TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (6 CÂU)
Câu 1 (Thông hiểu - Dãy số): Tìm số hạng đầu tiên \(u_1\) của dãy số \((u_n)\) biết \(u_{n+1} = 2u_n + 1\) với mọi \(n \ge 1\) và \(u_3 = 15\).
Trả lời:
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(u_3 = 2u_2 + 1 \Rightarrow 15 = 2u_2 + 1 \Rightarrow u_2 = 7\).
Tiếp tục: \(u_2 = 2u_1 + 1 \Rightarrow 7 = 2u_1 + 1 \Rightarrow u_1 = 3\).
Kết quả: 3
Câu 2 (Thông hiểu - Cấp số cộng): Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_3 = 8\) và \(u_7 = 20\). Tìm công sai \(d\) của cấp số cộng đó.
Trả lời:
Lời giải chi tiết:
Ta có hệ: \(\begin{cases} u_1 + 2d = 8 \\ u_1 + 6d = 20 \end{cases}\)
Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên: \(4d = 12 \Rightarrow d = 3\).
Kết quả: 3
Câu 3 (Thực tế - Cấp số cộng): Một hội trường có 20 hàng ghế. Hàng ghế đầu tiên có 15 ghế, mỗi hàng ghế sau có nhiều hơn hàng ghế ngay trước đó 2 ghế. Hỏi hội trường đó có tất cả bao nhiêu ghế?
Trả lời:
Lời giải chi tiết:
Số ghế mỗi hàng lập thành CSC với \(u_1 = 15\), \(d = 2\), \(n = 20\).
Tổng số ghế: \(S_{20} = \frac{20}{2}[2(15) + 19(2)] = 10 \cdot (30 + 38) = 680\) ghế.
Kết quả: 680
Câu 4 (Thông hiểu - Cấp số nhân): Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1 = 3\) và \(u_4 = 24\). Tìm công bội \(q\) của cấp số nhân.
Trả lời:
Lời giải chi tiết:
\(u_4 = u_1 \cdot q^3 \Leftrightarrow 24 = 3q^3 \Leftrightarrow q^3 = 8 \Leftrightarrow q = 2\).
Kết quả: 2
Câu 5 (Thực tế - Cấp số nhân): Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi đôi (lãi nhập gốc) với lãi suất 6%/năm. Hỏi sau 3 năm, tổng số tiền (cả gốc lẫn lãi) người đó nhận được là bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn đến hàng phần mười)
Trả lời:
Lời giải chi tiết:
Số tiền thu được sau \(n\) năm theo công thức lãi kép: \(A_n = A_0 (1 + r)^n\).
Sau 3 năm: \(A_3 = 100 \cdot (1 + 0.06)^3 = 100 \cdot (1.06)^3 = 119.1016\) triệu đồng.
Làm tròn đến hàng phần mười: **119.1** triệu đồng.
Kết quả: 119.1
Câu 6 (Thực tế - Cấp số nhân): Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức cấp số nhân. Biết ban đầu có 1000 con vi khuẩn và cứ sau mỗi giờ số lượng vi khuẩn lại nhân đôi. Hỏi sau 5 giờ có tất cả bao nhiêu con vi khuẩn?
Trả lời:
Lời giải chi tiết:
Ban đầu \(N_0 = 1000\).
Sau 1 giờ: \(N_1 = 1000 \cdot 2\).
...
Sau 5 giờ: \(N_5 = 1000 \cdot 2^5 = 1000 \cdot 32 = 32000\) con vi khuẩn.
Kết quả: 32000