BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

Xét tính đúng sai của các phát biểu:

• Dãy tăng \((u_n)\) thì \(u_n \ge u_1\), tức là bị chặn dưới bởi \(u_1\) (Phát biểu A đúng).
• Dãy giảm \((u_n)\) thì \(u_n \le u_1\), tức là bị chặn trên bởi \(u_1\) (Phát biểu B đúng).
• Dãy số bị chặn không nhất thiết phải tăng hoặc giảm (ví dụ dãy đan dấu \(u_n = (-1)^n\) bị chặn nhưng không tăng cũng không giảm) (Phát biểu C sai).
• Dãy số không đổi có \(u_n = C\) luôn bị chặn bởi \(C - 1\) và \(C + 1\) (Phát biểu D đúng).

Chọn C.

Dãy số trên là một cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

\[u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\]

Chọn D.

Xét hiệu hai số hạng liên tiếp:

\[u_{n+1} - u_n = [3(n+1) + 6] - (3n + 6) = 3n + 3 + 6 - 3n - 6 = 3\]

Hiệu số này là một hằng số \(d = 3\) với mọi \(n \ge 1\). Do đó \((u_n)\) là cấp số cộng với công sai \(d = 3\).

Chọn A.

Cấp số nhân là dãy số thỏa mãn hệ thức truy hồi dạng \(u_{n+1} = q \cdot u_n\) với \(q\) là hằng số (công bội).

Xét phương án B: \(u_1 = -1, u_{n+1} = 2u_n\), có dạng \(q = 2\) là hằng số, nên đây là cấp số nhân.

Chọn B.

Dãy số \(u_n = 2n - 1\) là cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công sai \(d = 2\).

Tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

\[S_{100} = \frac{100[2u_1 + (100 - 1)d]}{2} = 50 \cdot [2(1) + 99(2)] = 50 \cdot [2 + 198] = 50 \cdot 200 = 10000\]

Chọn C.

Số tiếng chuông đánh vào các giờ từ 1 giờ đến 12 giờ lập thành một cấp số cộng với:

• Số hạng đầu \(u_1 = 1\) (số tiếng chuông lúc 1 giờ).
• Số hạng cuối \(u_{12} = 12\) (số tiếng chuông lúc 12 giờ).
• Công sai \(d = 1\), số số hạng \(n = 12\).

Tổng số tiếng chuông đồng hồ đánh từ 0 giờ đến 12 giờ trưa là tổng 12 số hạng đầu:

\[S_{12} = \frac{12(u_1 + u_{12})}{2} = \frac{12(1 + 12)}{2} = 6 \cdot 13 = 78 \text{ (tiếng)}\]

Vậy chuông đồng hồ sẽ đánh tổng cộng 78 tiếng.

Đổi 24 giờ ra phút: \(24 \text{ giờ} = 24 \times 60 = 1440 \text{ phút}\).

Số lần phân đôi trong 24 giờ là: \(n = \frac{1440}{20} = 72 \text{ lần}\).

Số lượng tế bào tạo thành sau \(n\) lần phân đôi từ 1 tế bào ban đầu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công bội \(q = 2\):

\[u_{73} = u_1 \cdot q^{72} = 1 \cdot 2^{72} = 2^{72}\]

Vậy sau 24 giờ, 1 tế bào ban đầu sẽ phân chia thành \(2^{72}\) tế bào (khoảng \(4,72 \times 10^{21}\) tế bào).

a) Chứng minh đối với cấp số cộng:

Gọi công sai của cấp số cộng là \(d\). Theo tính chất cấp số cộng, ta có:

\[u_{k-1} = u_k - d \quad \text{và} \quad u_{k+1} = u_k + d\]

Cộng hai vế ta được:

\[u_{k-1} + u_{k+1} = (u_k - d) + (u_k + d) = 2u_k \Leftrightarrow u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2} \quad (\text{đpcm})\]

b) Chứng minh đối với cấp số nhân:

Gọi công bội của cấp số nhân là \(q\) (giả sử \(q \neq 0\)). Theo tính chất cấp số nhân, ta có:

\[u_{k-1} = \frac{u_k}{q} \quad \text{và} \quad u_{k+1} = u_k \cdot q\]

Nhân hai vế ta được:

\[u_{k-1} \cdot u_{k+1} = \left(\frac{u_k}{q}\right) \cdot (u_k \cdot q) = u_k^2 \Leftrightarrow u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1} \quad (\text{đpcm})\]

Gọi ba số cần tìm lập thành cấp số cộng là \(x - d, x, x + d\) (với công sai là \(d\)).

Theo giả thiết, tổng của ba số bằng 21:

\[(x - d) + x + (x + d) = 21 \Leftrightarrow 3x = 21 \Leftrightarrow x = 7\]

Ba số đó là \(7 - d, 7, 7 + d\).

Khi lần lượt cộng thêm các số 2, 3, 9 vào ba số đó, ta được ba số mới là:

\[(7 - d) + 2 = 9 - d\] \[7 + 3 = 10\] \[(7 + d) + 9 = 16 + d\]

Ba số mới \(9 - d, 10, 16 + d\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, nên ta có tính chất tích hai số ngoài bằng bình phương số ở giữa:

\[(9 - d)(16 + d) = 10^2 \Leftrightarrow 144 + 9d - 16d - d^2 = 100\] \[\Leftrightarrow d^2 + 7d - 44 = 0 \Leftrightarrow (d - 4)(d + 11) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} d = 4 \\ d = -11 \end{array}\right.\]

• Với \(d = 4\), ba số cần tìm là: \(7 - 4 = 3\), \(7\), \(7 + 4 = 11\) (hệ ba số: \(3, 7, 11\)).
• Với \(d = -11\), ba số cần tìm là: \(7 - (-11) = 18\), \(7\), \(7 + (-11) = -4\) (hệ ba số: \(18, 7, -4\)).

Đổi đơn vị: \(0,5 \text{ m} = 50 \text{ cm}\).

Độ cao của các bậc cầu thang so với mặt sàn tầng trệt lập thành một cấp số cộng với:

• Số hạng đầu \(u_1 = 50 + 16 = 66 \text{ cm}\) (độ cao bậc thứ nhất).
• Công sai \(d = 16 \text{ cm}\) (chiều cao mỗi bậc).

a) Công thức tìm độ cao của bậc cầu thang thứ \(n\) (\(u_n\)):

\[u_n = u_1 + (n - 1)d = 66 + (n - 1)16 = 16n + 50 \text{ (cm)}\]

b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sàn:

Sàn tầng hai nằm ngay sau bậc cầu thang thứ 25, ứng với \(n = 25\):

\[u_{25} = 16(25) + 50 = 400 + 50 = 450 \text{ cm} = 4,5 \text{ m}\]

Vậy độ cao của sàn tầng hai so với mặt sàn tầng trệt là \(4,5 \text{ m}\).

Hình vuông ban đầu có cạnh bằng 1, nên diện tích ban đầu là \(S = 1^2 = 1\).

• Lần 1: Hình vuông được chia thành 9 phần bằng nhau, hình vuông ở giữa được tô màu xanh.
  Diện tích hình vuông xanh thứ nhất là: \(S_1 = \frac{1}{9}\).
• Lần 2: Mỗi trong 8 hình vuông vàng còn lại tiếp tục bị chia thành 9 phần và tô màu xanh ở giữa.
  Tổng diện tích các hình vuông xanh ở lần 2 là: \(S_2 = 8 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^2 = \frac{8}{81}\).
• Lần 3: Tổng diện tích các hình vuông xanh ở lần 3 là: \(S_3 = 8^2 \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^3 = \frac{64}{729}\).

Tổng quát, diện tích các hình vuông được tô màu xanh ở lần thứ \(n\) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu \(u_1 = \frac{1}{9}\) và công bội \(q = \frac{8}{9}\):

\[u_n = \frac{1}{9} \cdot \left(\frac{8}{9}\right)^{n-1}\]

Tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh sau 5 lần lặp lại là tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân (\(S_5\)):

\[S_5 = u_1 \cdot \frac{1 - q^5}{1 - q} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \left(\frac{8}{9}\right)^5}{1 - \frac{8}{9}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1 - \frac{32768}{59049}}{\frac{1}{9}} = 1 - \frac{32768}{59049} = \frac{26281}{59049} \approx 0,4451\]

Vậy tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh sau 5 lần lặp là khoảng \(\frac{26281}{59049}\) (hay xấp xỉ \(0,4451\) đơn vị diện tích).