Câu 1. Cho cấp số nhân \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = 3\) và công bội \(q = 2\). Giá trị của số hạng thứ \(2\) (\(u_2\)) bằng:
Giải thích: Áp dụng công thức \(u_2 = u_1 \cdot q = 3 \cdot 2 = 6\).
Câu 2. Cho cấp số nhân \((u_n)\) với \(u_1 = -2\) và công bội \(q = 3\). Công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của cấp số nhân là:
Giải thích: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\). Thay số ta được \(u_n = -2 \cdot 3^{n-1}\).
Câu 3. Dãy số nào sau đây **là** một cấp số nhân?
Giải thích: Dãy \(2; 6; 18; 54\) có tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn bằng \(3\) (công bội \(q = 3\)), nên đây là một cấp số nhân.
Câu 4. Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1 = 3\) và \(u_4 = 24\). Công bội \(q\) của cấp số nhân bằng:
Giải thích: Ta có \(u_4 = u_1 \cdot q^3 \Leftrightarrow 24 = 3 \cdot q^3 \Leftrightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2\).
Câu 5. Cho ba số dương \(x, 6, 18\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Giá trị của \(x\) là:
Giải thích: Theo tính chất cấp số nhân: \(6^2 = x \cdot 18 \Leftrightarrow 36 = 18x \Rightarrow x = 2\).
Câu 6. Cho cấp số nhân \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = 2\) và công bội \(q = 3\). Tổng 5 số hạng đầu tiên \(S_5\) bằng:
Giải thích: Công thức tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân: \(S_n = \frac{u_1(q^n - 1)}{q - 1}\).
Thay số: \(S_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(243 - 1)}{2} = 242\).
Câu 7. Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1 = 5\) và \(q = -2\). Giá trị của số hạng \(u_6\) bằng:
Giải thích: Ta có \(u_6 = u_1 \cdot q^5 = 5 \cdot (-2)^5 = 5 \cdot (-32) = -160\).
Câu 8. Cho cấp số nhân \((u_n)\) thỏa mãn \(\begin{cases} u_4 - u_2 = 54 \\ u_5 - u_3 = 108 \end{cases}\). Số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) của cấp số nhân là:
Giải thích:
Hệ phương trình tương đương: \(\begin{cases} u_1 q^3 - u_1 q = 54 \\ u_1 q^4 - u_1 q^2 = 108 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 q (q^2 - 1) = 54 \quad (1) \\ u_1 q^2 (q^2 - 1) = 108 \quad (2) \end{cases}\).
Chia vế (2) cho vế (1) ta được \(q = \frac{108}{54} = 2\).
Thay \(q = 2\) vào (1): \(u_1 \cdot 2 \cdot (2^2 - 1) = 54 \Leftrightarrow 6 u_1 = 54 \Rightarrow u_1 = 9\).
Câu 9. Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1 = 3\) và công bội \(q = 2\). Số \(192\) là số hạng thứ mấy của cấp số nhân này?
Giải thích:
Ta có \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \Leftrightarrow 192 = 3 \cdot 2^{n-1} \Leftrightarrow 2^{n-1} = 64 \Leftrightarrow 2^{n-1} = 2^6 \Rightarrow n - 1 = 6 \Rightarrow n = 7\).
Câu 10 Thực tế. Một tế bào sinh học phân chia đôi sau mỗi \(30\) phút (1 thế hệ). Ban đầu có \(5\) tế bào. Hỏi sau \(3\) giờ (tương đương 6 lần phân chia), tổng số tế bào thu được là bao nhiêu?
Giải thích:
- Số lượng tế bào ở các thời điểm lập thành một cấp số nhân.
- Ban đầu (thời điểm 0): \(u_1 = 5\).
- Mỗi lần phân chia gấp đôi nên công bội \(q = 2\).
- Sau 6 lần phân chia tương ứng với số hạng thứ 7 của cấp số nhân: \(u_7 = u_1 \cdot q^6 = 5 \cdot 2^6 = 5 \cdot 64 = 320\) tế bào.