📘 BÀI HỌC TOÁN 11: CẤP SỐ NHÂN
Chương IV: Dãy số - Cấp số cộng và Cấp số nhân
1. Khái niệm Cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi \(q\).
Số \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân.
Biểu diễn dưới dạng công thức truy hồi:
\[ u_n=u_{n-1}.q\quad (n\ge 2) \]- Khi \(u_1 = 0\) thì với mọi \(q\), cấp số nhân là dãy số: \(0, 0, 0, \dots, 0, \dots\)
- Khi \(q = 0\), cấp số nhân là dãy số: \(u_1, 0, 0, \dots, 0, \dots\)
- Khi \(q = 1\), cấp số nhân là dãy số không đổi: \(u_1, u_1, u_1, \dots\)
- Khi \(q = -1\), các số hạng của cấp số nhân đổi dấu liên tiếp: \(u_1, -u_1, u_1, -u_1, \dots\)
- Khi các số hạng khác 0, công bội được tính bằng tỷ số: \(q = \frac{u_{n+1}}{u_n}\).
2. Các công thức cơ bản
a) Số hạng tổng quát
Nếu cấp số nhân \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\), thì số hạng tổng quát \(u_n\) được tính theo công thức:
b) Tính chất các số hạng
Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng tích của hai số hạng kề nó:
Hay: \(|u_k| = \sqrt{u_{k-1} \cdot u_{k+1}}\) (mỗi số hạng là trung bình nhân của hai số hạng kề nó).
c) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên (\(S_n\))
Cho cấp số nhân \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\). Đặt \(S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n\).
• Nếu \(q = 1\):
\[ S_n = n \cdot u_1 \]• Nếu \(q \neq 1\):
\[ S_n = \frac{u_1 (1 - q^n)}{1 - q} \quad \text{hoặc} \quad S_n = \frac{u_1 (q^n - 1)}{q - 1} \]3. Ví dụ minh họa
Cho cấp số nhân \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = 3\) và công bội \(q = 2\).
a) Tìm số hạng thứ 7 (\(u_7\)).
b) Số 192 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
a) Áp dụng công thức \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\):
\[ u_7 = u_1 \cdot q^6 = 3 \cdot 2^6 = 3 \cdot 64 = 192 \]b) Giả sử 192 là số hạng thứ \(n\). Ta có:
\[ u_n = 3 \cdot 2^{n-1} = 192 \] \[ \Leftrightarrow 2^{n-1} = 64 = 2^6 \] \[ \Leftrightarrow n - 1 = 6 \Leftrightarrow n = 7 \]Vậy 192 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.
Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1 = -2\) và \(q = -3\). Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.
Áp dụng công thức tính tổng với \(n = 8, u_1 = -2, q = -3 \neq 1\):
\[ S_8 = \frac{u_1 (1 - q^8)}{1 - q} = \frac{-2 \cdot \left[1 - (-3)^8\right]}{1 - (-3)} \] \[ S_8 = \frac{-2 \cdot (1 - 6561)}{4} = \frac{-2 \cdot (-6560)}{4} = \frac{13120}{4} = 3280 \]4. Luyện tập tự giải
a) Tìm công bội \(q\).
b) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số này.
5. Vận dụng thực tế
Một tế bào vi khuẩn E. Coli trong điều kiện phòng thí nghiệm cứ sau 20 phút lại phân đôi một lần. Giả sử ban đầu có 100 tế bào vi khuẩn.
Hỏi: Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu tế bào vi khuẩn?
Đổi: 3 giờ = 180 phút.
Số lần phân đôi của vi khuẩn là: \(180 : 20 = 9\) lần.
Số lượng vi khuẩn sau mỗi lần phân đôi lập thành một cấp số nhân \((u_n)\) với:
- Số hạng đầu (ban đầu chưa phân đôi): \(u_1 = 100\)
- Công bội: \(q = 2\)
Số tế bào vi khuẩn sau 9 lần phân đôi tương ứng với số hạng thứ 10 (\(u_{10}\)) của cấp số nhân:
\[ u_{10} = u_1 \cdot q^9 = 100 \cdot 2^9 = 100 \cdot 512 = 51.200 \]Kết luận: Sau 3 giờ, số tế bào vi khuẩn sẽ tăng lên thành 51.200 tế bào.
6. Ghi nhớ & Mẹo làm bài
- \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \quad (n \ge 2)\)
- \(a, b, c \text{ lập thành CSN} \Leftrightarrow a \cdot c = b^2\)
- \(S_n = \frac{u_1 (1 - q^n)}{1 - q} \quad (q \neq 1)\)
- Để chứng minh một dãy là CSN, xét tỷ số \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\). Nếu tỷ số là một hằng số không phụ thuộc vào \(n\) thì đó là CSN với công bội \(q\) chính là hằng số đó.
- Với bài toán giải hệ phương trình chứa \(u_n\), phương pháp phổ biến là lập tỷ số giữa hai phương trình sau khi đã biến đổi về \(u_1\) và \(q\) để triệt tiêu \(u_1\).
- Chú ý dấu của công bội \(q\): Nếu \(q < 0\), cấp số nhân sẽ có các số hạng âm dương xen kẽ nhau.