BÀI 7: CẤP SỐ NHÂN
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

a) Cấp số nhân \(1, 4, 16, \dots\):

• Số hạng đầu: \(u_1 = 1\).
• Công bội: \(q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{4}{1} = 4\).
• Số hạng thứ 5: \(u_5 = u_1 \cdot q^4 = 1 \cdot 4^4 = 256\).
• Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 4^{n-1} = 4^{n-1}\).
• Số hạng thứ 100: \(u_{100} = 4^{99}\).

b) Cấp số nhân \(2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \dots\):

• Số hạng đầu: \(u_1 = 2\).
• Công bội: \(q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-\frac{1}{2}}{2} = -\frac{1}{4}\).
• Số hạng thứ 5: \(u_5 = u_1 \cdot q^4 = 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^4 = 2 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{128}\).
• Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^{n-1}\).
• Số hạng thứ 100: \(u_{100} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^{99} = -\frac{1}{2^{197}}\).

a) Dãy số \(u_n = 5n\):

• Năm số hạng đầu: \(u_1 = 5, u_2 = 10, u_3 = 15, u_4 = 20, u_5 = 25\).
• Xét tỉ số: \(\frac{u_2}{u_1} = \frac{10}{5} = 2\) và \(\frac{u_3}{u_2} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}\). Vì \(\frac{u_2}{u_1} \neq \frac{u_3}{u_2}\) nên dãy số này không phải là cấp số nhân.

b) Dãy số \(u_n = 5^n\):

• Năm số hạng đầu: \(u_1 = 5, u_2 = 25, u_3 = 125, u_4 = 625, u_5 = 3125\).
• Xét tỉ số: \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{5^{n+1}}{5^n} = 5\) (không đổi với mọi \(n \ge 1\)).
• Kết luận: Đây là cấp số nhân với công bội \(q = 5\). Số hạng đầu \(u_1 = 5\), công thức số hạng tổng quát: \(u_n = 5 \cdot 5^{n-1} = 5^n\).

c) Dãy số cho bởi hệ thức: \(u_1 = 1, u_n = n \cdot u_{n-1}\):

• Năm số hạng đầu: \(u_1 = 1\), \(u_2 = 2 \cdot 1 = 2\), \(u_3 = 3 \cdot 2 = 6\), \(u_4 = 4 \cdot 6 = 24\), \(u_5 = 5 \cdot 24 = 120\).
• Xét tỉ số: \(\frac{u_2}{u_1} = 2\), \(\frac{u_3}{u_2} = 3\). Vì \(\frac{u_2}{u_1} \neq \frac{u_3}{u_2}\) nên đây không phải là cấp số nhân.

d) Dãy số cho bởi hệ thức: \(u_1 = 1, u_n = 5u_{n-1}\):

• Năm số hạng đầu: \(u_1 = 1, u_2 = 5, u_3 = 25, u_4 = 125, u_5 = 625\).
• Xét tỉ số: \(\frac{u_n}{u_{n-1}} = 5\) (với mọi \(n \ge 2\)).
• Kết luận: Đây là cấp số nhân với công bội \(q = 5\). Số hạng đầu \(u_1 = 1\), công thức số hạng tổng quát: \(u_n = 1 \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1}\).

Gọi cấp số nhân có số hạng đầu là \(u_1\) và công bội là \(q\).

Theo giả thiết, ta có hệ phương trình:

\[\begin{cases} u_6 = 96 \\ u_3 = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 \cdot q^5 = 96 \\ u_1 \cdot q^2 = 12 \end{cases}\]

Chia vế theo vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:

\[\frac{u_1 \cdot q^5}{u_1 \cdot q^2} = \frac{96}{12} \Leftrightarrow q^3 = 8 \Leftrightarrow q = 2\]

Thay \(q = 2\) vào phương trình thứ hai:

\[u_1 \cdot 2^2 = 12 \Leftrightarrow 4u_1 = 12 \Leftrightarrow u_1 = 3\]

Số hạng thứ 50 của cấp số nhân là:

\[u_{50} = u_1 \cdot q^{49} = 3 \cdot 2^{49}\]

Theo giả thiết, cấp số nhân có \(u_1 = 5\), công bội \(q = 2\).

Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên là:

\[S_n = \frac{u_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{5(2^n - 1)}{2 - 1} = 5(2^n - 1)\]

Theo yêu cầu bài toán, tổng bằng 5 115, nên ta có phương trình:

\[5(2^n - 1) = 5115 \Leftrightarrow 2^n - 1 = \frac{5115}{5} \Leftrightarrow 2^n - 1 = 1023\] \[\Leftrightarrow 2^n = 1024 \Leftrightarrow 2^n = 2^{10} \Leftrightarrow n = 10\]

Vậy phải lấy tổng của 10 số hạng đầu thì có tổng bằng 5 115.

Giá trị của chiếc máy ủi sau mỗi năm sử dụng lập thành một cấp số nhân với:

• Số hạng đầu \(u_1 = 3 \cdot (1 - 20\%) = 3 \cdot 0,8 = 2,4\) (tỉ đồng - giá trị sau năm thứ nhất).
• Hoặc xét giá trị ban đầu là \(u_0 = 3\) tỉ đồng, công bội \(q = 1 - 20\% = 0,8\).

Công thức tính giá trị của máy sau \(n\) năm sử dụng là:

\[u_n = u_0 \cdot q^n = 3 \cdot (0,8)^n\]

Giá trị còn lại của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng (\(n = 5\)) là:

\[u_5 = 3 \cdot (0,8)^5 = 3 \cdot 0,32768 = 0,98304 \text{ (tỉ đồng)} \quad (= 983,04 \text{ triệu đồng})\]

Vậy giá trị còn lại của máy ủi sau 5 năm là khoảng 983,04 triệu đồng.

Dân số qua các năm lập thành một cấp số nhân với:

• Số hạng đầu \(u_0 = 97\) triệu người (dân số năm 2020).
• Công bội \(q = 1 + 0,91\% = 1 + 0,0091 = 1,0091\).

Số năm từ 2020 đến 2030 là \(n = 2030 - 2020 = 10\) năm.

Dân số của quốc gia vào năm 2030 là:

\[u_{10} = u_0 \cdot q^{10} = 97 \cdot (1,0091)^{10} \approx 97 \cdot 1,0946 \approx 106,18 \text{ (triệu người)}\]

Vậy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030 là khoảng 106,18 triệu người.

Lượng thuốc trong máu qua các ngày lập thành một cấp số nhân với:

• Số hạng đầu \(u_1 = 50\) mg (lượng thuốc ở ngày thứ nhất).
• Công bội \(q = \frac{1}{2}\) (vì mỗi ngày giảm còn một nửa).

Tổng lượng thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp chính là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (\(S_{10}\)):

\[S_{10} = \frac{u_1(1 - q^{10})}{1 - q} = \frac{50 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{50 \cdot \left(1 - \frac{1}{1024}\right)}{\frac{1}{2}}\] \[= 100 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{102300}{1024} = \frac{25575}{256} \approx 99,9023 \text{ (mg)}\]

Vậy tổng lượng thuốc trong máu của bệnh nhân sau 10 ngày liên tiếp là khoảng 99,9 mg.