Câu 1. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = 3\) và công sai \(d = 4\). Giá trị của số hạng thứ \(2\) (\(u_2\)) bằng:
Giải thích: Áp dụng công thức \(u_2 = u_1 + d = 3 + 4 = 7\).
Câu 2. Cho cấp số cộng \((u_n)\) với \(u_1 = 2\) và công sai \(d = -3\). Công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của cấp số cộng là:
Giải thích: Ta có \(u_n = u_1 + (n - 1)d = 2 + (n - 1)(-3) = 2 - 3n + 3 = 5 - 3n\).
Câu 3. Dãy số nào sau đây **là** một cấp số cộng?
Giải thích: Dãy số \(-2; 1; 4; 7; 10\) có hiệu giữa hai số hạng liên tiếp luôn bằng \(3\) (công sai \(d = 3\)), nên đây là một cấp số cộng.
Câu 4. Cho cấp số cộng \((u_n)\) biết \(u_1 = -5\) và \(u_6 = 10\). Công sai \(d\) của cấp số cộng bằng:
Giải thích: Ta có \(u_6 = u_1 + 5d \Leftrightarrow 10 = -5 + 5d \Leftrightarrow 5d = 15 \Rightarrow d = 3\).
Câu 5. Cho ba số \(x, 5, 11\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Giá trị của \(x\) là:
Giải thích: Áp dụng tính chất ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng: \(x + 11 = 2 \cdot 5 \Leftrightarrow x + 11 = 10 \Rightarrow x = -1\).
Câu 6. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = 4\) và công sai \(d = 3\). Tổng 10 số hạng đầu tiên \(S_{10}\) bằng:
Giải thích: Áp dụng công thức tổng \(n\) số hạng đầu: \(S_{10} = \frac{10}{2} \cdot [2u_1 + (10 - 1)d] = 5 \cdot [2(4) + 9(3)] = 5 \cdot [8 + 27] = 5 \cdot 35 = 175\).
Câu 7. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 = 100\) và công sai \(d = -4\). Số hạng thứ mấy của cấp số cộng bằng \(0\)?
Giải thích: Ta có \(u_n = u_1 + (n - 1)d = 0 \Leftrightarrow 100 + (n - 1)(-4) = 0 \Leftrightarrow 4(n - 1) = 100 \Leftrightarrow n - 1 = 25 \Rightarrow n = 26\).
Câu 8. Cho cấp số cộng \((u_n)\) thỏa mãn \(\begin{cases} u_1 + u_5 = 18 \\ u_3 + u_7 = 26 \end{cases}\). Số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của cấp số cộng lần lượt là:
Giải thích:
Hệ phương trình tương đương: \(\begin{cases} u_1 + (u_1 + 4d) = 18 \\ (u_1 + 2d) + (u_1 + 6d) = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1 + 4d = 18 \\ 2u_1 + 8d = 26 \end{cases}\).
Trừ từng vế hai phương trình ta được \(4d = 8 \Rightarrow d = 2\). Thay lại tìm được \(u_1 = 5\).
Câu 9. Cho cấp số cộng \((u_n)\) có tổng \(n\) số hạng đầu tiên được cho bởi công thức \(S_n = 2n^2 + 3n\). Công sai \(d\) của cấp số cộng này bằng:
Giải thích:
- Có \(u_1 = S_1 = 2(1)^2 + 3(1) = 5\).
- Có \(S_2 = 2(2)^2 + 3(2) = 14 \Rightarrow u_2 = S_2 - S_1 = 14 - 5 = 9\).
- Công sai \(d = u_2 - u_1 = 9 - 5 = 4\).
Câu 10 Thực tế. Một vận động viên tập chạy cự ly dài. Ngày đầu tiên runner đó chạy được \(3\text{ km}\). Mỗi ngày sau đó, quãng đường chạy tăng thêm \(500\text{ m}\) (\(0{,}5\text{ km}\)) so với ngày trước đó. Tổng quãng đường vận động viên này chạy được sau \(14\) ngày rèn luyện là:
Giải thích:
- Quãng đường chạy mỗi ngày lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = 3\text{ (km)}\) và công sai \(d = 0{,}5\text{ (km)}\).
- Tổng quãng đường sau \(14\) ngày là tổng 14 số hạng đầu: \(S_{14} = \frac{14}{2} \cdot [2u_1 + (14 - 1)d] = 7 \cdot [2(3) + 13(0{,}5)] = 7 \cdot [6 + 6{,}5] = 7 \cdot 12{,}5 = 87,5\text{ km}\).
*(Lưu ý: Phương án D là 87,5 km).*