11-c2-b6. Cấp số cộng-LT

Bài học Toán THPT - Cấp Số Cộng

1. Khái niệm Cấp số cộng

📌 Định nghĩa:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi \(d\).

Số \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.

Biểu diễn dưới dạng công thức truy hồi:

\[ u_n = u_{n-1} + d \quad (n\ge 2) \]

💡 Chú ý đặc biệt:

Khi \(d = 0\), cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Để tìm công sai \(d\), ta lấy một số hạng bất kỳ trừ đi số hạng đứng ngay trước nó: \(d = u_{n+1} - u_n\).

2. Các công thức cơ bản

a) Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\), thì số hạng tổng quát \(u_n\) được tính theo công thức:

\[ u_n = u_1 + (n - 1)d \quad (n \ge 2) \]

b) Tính chất các số hạng

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng kề nó:

\[ u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2} \quad (k \ge 2) \]

c) Tổng \(n\) số hạng đầu tiên (\(S_n\))

Tổng \(S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n\) được tính bằng một trong hai công thức:

\[ S_n = \frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right) \]

hoặc

\[ S_n = \frac{n}{2}\left[ 2u_1 + (n - 1)d \right]\]

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Tìm số hạng tổng quát

Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = 3\) và công sai \(d = 4\).

a) Tìm số hạng thứ 10 (\(u_{10}\)).

b) Số 83 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

Lời giải:

a) Áp dụng công thức \(u_n = u_1 + (n - 1)d\):

\[ u_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot 4 = 3 + 36 = 39 \]

b) Giả sử 83 là số hạng thứ \(n\). Ta có:

\[ u_n = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 83 \] \[ \Leftrightarrow 4(n - 1) = 80 \Leftrightarrow n - 1 = 20 \Leftrightarrow n = 21 \]

Vậy 83 là số hạng thứ 21 của cấp số cộng.

Ví dụ 2 Tính tổng

Tính tổng 50 số hạng đầu tiên của cấp số cộng \((u_n)\) biết \(u_1 = 5\) và \(d = -2\).

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tổng \(S_n = \frac{n \left[ 2u_1 + (n - 1)d \right]}{2}\) với \(n = 50\):

\[ S_{50} = \frac{50 \cdot \left[ 2 \cdot 5 + (50 - 1) \cdot (-2) \right]}{2} \] \[ S_{50} = 25 \cdot \left[ 10 + 49 \cdot (-2) \right] = 25 \cdot (10 - 98) = 25 \cdot (-88) = -2200 \]

4. Luyện tập tự giải

Bài 1: Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của cấp số cộng \((u_n)\) biết: \[ \begin{cases} u_1 + u_5 = 18 \\ u_3 + u_6 = 23 \end{cases} \]

Bài 2: Cho cấp số cộng \(2, 5, 8, 11, \dots\)

a) Tìm công sai \(d\).

b) Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số này.

Bài 3: Cho 3 số \(x, 5, 3x - 1\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm \(x\).

5. Vận dụng thực tế

📌 Bài toán tiết kiệm:

Bạn An lập kế hoạch tiết kiệm tiền để mua một chiếc xe đạp trị giá 2.500.000 VNĐ. Tháng đầu tiên An tiết kiệm được 100.000 VNĐ. Các tháng tiếp theo, mỗi tháng An tiết kiệm nhiều hơn tháng trước 20.000 VNĐ.

Hỏi: Sau bao nhiêu tháng An sẽ có đủ tiền mua xe đạp?

Phân tích & Lời giải:

Số tiền tiết kiệm mỗi tháng của An lập thành một cấp số cộng có:

Số hạng đầu: \(u_1 = 100.000\)
Công sai: \(d = 20.000\)

Tổng số tiền An tiết kiệm sau \(n\) tháng là \(S_n = 2.500.000\). Ta có:

\[ S_n = \frac{n \left[ 2 \cdot 100.000 + (n - 1) \cdot 20.000 \right]}{2} = 2.500.000 \] \[ \Leftrightarrow n \left[ 200.000 + 20.000n - 20.000 \right] = 5.000.000 \] \[ \Leftrightarrow n (20.000n + 180.000) = 5.000.000 \] \[ \Leftrightarrow 20n^2 + 180n - 5000 = 0 \Leftrightarrow n^2 + 9n - 250 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai trên, ta nhận nghiệm nguyên dương \(n \approx 11.83\).

Kết luận: Sau 12 tháng thì bạn An mới tiết kiệm đủ tiền mua xe đạp.

6. Ghi nhớ & Mẹo làm bài

🎯 3 Công thức cốt lõi cần thuộc lòng:

\(u_n = u_1 + (n - 1)d\)
\(a, b, c \text{ lập thành CSC} \Leftrightarrow a + c = 2b\)
\(S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}\)

💡 Mẹo giải toán trắc nghiệm:

Để chứng minh một dãy là CSC, xét hiệu \(u_{n+1} - u_n\). Nếu hiệu là một hằng số không phụ thuộc vào \(n\) thì đó là CSC với \(d\) chính là hằng số đó.
Nếu gặp bài toán hệ phương trình chứa các \(u_n\), luôn đưa tất cả về ẩn \(u_1\) và \(d\) bằng công thức tổng quát.

📘 BÀI HỌC TOÁN 11: CẤP SỐ CỘNG