BÀI 6: CẤP SỐ CỘNG
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

a) Cấp số cộng \(4, 9, 14, 19, \dots\):

• Số hạng đầu: \(u_1 = 4\).
• Công sai: \(d = u_2 - u_1 = 9 - 4 = 5\).
• Số hạng thứ 5: \(u_5 = u_1 + 4d = 4 + 4(5) = 24\).
• Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 + (n-1)d = 4 + (n-1)5 = 5n - 1\).
• Số hạng thứ 100: \(u_{100} = 5(100) - 1 = 499\).

b) Cấp số cộng \(1, -1, -3, -5, \dots\):

• Số hạng đầu: \(u_1 = 1\).
• Công sai: \(d = u_2 - u_1 = -1 - 1 = -2\).
• Số hạng thứ 5: \(u_5 = u_1 + 4d = 1 + 4(-2) = -7\).
• Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)(-2) = 3 - 2n\).
• Số hạng thứ 100: \(u_{100} = 3 - 2(100) = -197\).

a) Dãy số \(u_n = 3 + 5n\):

• Năm số hạng đầu: \(u_1 = 8, u_2 = 13, u_3 = 18, u_4 = 23, u_5 = 28\).
• Xét hiệu \(u_{n+1} - u_n = [3 + 5(n+1)] - [3 + 5n] = 5\) (không đổi với mọi \(n \ge 1\)).
• Kết luận: Đây là cấp số cộng với công sai \(d = 5\). Số hạng đầu \(u_1 = 8\), số hạng tổng quát: \(u_n = 8 + (n-1)5\).

b) Dãy số \(u_n = 6n - 4\):

• Năm số hạng đầu: \(u_1 = 2, u_2 = 8, u_3 = 14, u_4 = 20, u_5 = 26\).
• Xét hiệu \(u_{n+1} - u_n = [6(n+1) - 4] - [6n - 4] = 6\) (không đổi với mọi \(n \ge 1\)).
• Kết luận: Đây là cấp số cộng với công sai \(d = 6\). Số hạng đầu \(u_1 = 2\), số hạng tổng quát: \(u_n = 2 + (n-1)6\).

c) Dãy số cho bởi hệ thức: \(u_1 = 2, u_n = u_{n-1} + n\):

• Năm số hạng đầu: \(u_1 = 2\); \(u_2 = u_1 + 2 = 4\); \(u_3 = u_2 + 3 = 7\); \(u_4 = u_3 + 4 = 11\); \(u_5 = u_4 + 5 = 16\).
• Xét hiệu \(u_{n+1} - u_n = n + 1\) (phụ thuộc vào \(n\), không là hằng số).
• Kết luận: Đây không phải là cấp số cộng.

d) Dãy số cho bởi hệ thức: \(u_1 = 2, u_n = u_{n-1} + 3\):

• Năm số hạng đầu: \(u_1 = 2, u_2 = 5, u_3 = 8, u_4 = 11, u_5 = 14\).
• Xét hiệu \(u_n - u_{n-1} = 3\) (không đổi với mọi \(n \ge 2\)).
• Kết luận: Đây là cấp số cộng với công sai \(d = 3\). Số hạng đầu \(u_1 = 2\), số hạng tổng quát: \(u_n = 2 + (n-1)3\).

Gọi cấp số cộng có số hạng đầu là \(u_1\) và công sai là \(d\).

Theo giả thiết, ta có hệ phương trình:

\[\begin{cases} u_5 = 18 \\ u_{12} = 32 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + 4d = 18 \\ u_1 + 11d = 32 \end{cases}\]

Trừ vế với vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:

\[7d = 14 \Leftrightarrow d = 2\]

Thay \(d = 2\) vào phương trình đầu:

\[u_1 + 4(2) = 18 \Leftrightarrow u_1 = 10\]

Số hạng thứ 50 của cấp số cộng là:

\[u_{50} = u_1 + 49d = 10 + 49(2) = 10 + 98 = 108\]

Theo giả thiết, cấp số cộng có \(u_1 = 5\), công sai \(d = 2\).

Tổng của \(n\) số hạng đầu tiên là:

\[S_n = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2} = \frac{n[2(5) + (n-1)2]}{2} = \frac{n(10 + 2n - 2)}{2} = \frac{n(2n + 8)}{2} = n(n + 4)\]

Theo yêu cầu bài toán, tổng bằng 2 700, nên ta có phương trình:

\[n(n + 4) = 2700 \Leftrightarrow n^2 + 4n - 2700 = 0\]

Giải phương trình bậc hai theo \(n\):

\[\Delta' = 2^2 - 1(-2700) = 4 + 2700 = 2704 \Rightarrow \sqrt{\Delta'} = \sqrt{2704} = 52\]

Phương trình có hai nghiệm:

\[n_1 = \frac{-2 + 52}{1} = 50 \quad (\text{nhận})\] \[n_2 = \frac{-2 - 52}{1} = -54 \quad (\text{loại vì } n \in \mathbb{N}^*)\]

Vậy phải lấy tổng của 50 số hạng đầu thì có tổng bằng 2 700.

Giá trị của chiếc xe sau mỗi năm sử dụng lập thành một cấp số cộng với:

• Số hạng đầu \(u_1 = 680 - 55 = 625\) (giá trị sau năm thứ nhất).

Giá trị còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng (\(n = 5\)) là:

\[u_5 = 625 - 4.55 = 680 - 275 = 405 \text{ (triệu đồng)}\]

Số ghế ở các hàng lập thành một cấp số cộng với:

• Số hạng đầu: \(u_1 = 15\) (số ghế hàng thứ nhất).
• Công sai: \(d = 3\).

Tổng số ghế của \(n\) hàng ghế đầu tiên là tổng của \(n\) số hạng đầu của cấp số cộng:

\[S_n = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2} = \frac{n[2(15) + (n-1)3]}{2} = \frac{n(30 + 3n - 3)}{2} = \frac{n(3n + 27)}{2}\]

Để hội trường có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi, ta cần giải bất phương trình:

\[S_n \ge 870 \Leftrightarrow \frac{n(3n + 27)}{2} \ge 870 \Leftrightarrow n(3n + 27) \ge 1740\] \[\Leftrightarrow 3n^2 + 27n - 1740 \ge 0 \Leftrightarrow n^2 + 9n - 580 \ge 0\]

Xét tam thức bậc hai \(n^2 + 9n - 580 = 0\):

Có \(\Delta = 9^2 - 4(1)(-580) = 81 + 2320 = 2401 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 49\).

Các nghiệm của phương trình là:

\[n_1 = \frac{-9 + 49}{2} = 20, \quad n_2 = \frac{-9 - 49}{2} = -29\]

Bất phương trình nghiệm đúng với \(n \ge 20\) hoặc \(n \le -29\).

Vì số hàng ghế \(n\) phải là số nguyên dương (\(n \in \mathbb{N}^*\)), ta chọn \(n \ge 20\).

Vậy kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế.

Số dân của thành phố qua các năm lập thành một cấp số cộng với:

• Số hạng đầu \(u_1 = 1,2\) triệu người (dân số năm 2020).
• Công sai \(d = 30 \text{ nghìn người} = 0,03 \text{ triệu người}\) (mức tăng mỗi năm).

Số năm từ 2020 đến 2030 là \(n = 2030 - 2020 = 10\) năm.

Số dân của thành phố vào năm 2030 ứng với số hạng thứ 11 của cấp số cộng (\(u_{11}\)):

\[u_{11} = u_1 + 10d = 1,2 + 10(0,03) = 1,2 + 0,3 = 1,5 \text{ (triệu người)}\]

Vậy ước tính dân số của thành phố vào năm 2030 là khoảng 1,5 triệu người.