Câu 1. Cho dãy số \((u_n)\) có số hạng tổng quát \(u_n = \frac{2n - 1}{n + 1}\). Giá trị của số hạng thứ \(5\) (\(u_5\)) bằng:
Giải thích: Thay \(n = 5\) vào công thức số hạng tổng quát, ta được: \(u_5 = \frac{2(5) - 1}{5 + 1} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\).
Câu 2. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi công thức truy hồi: \(u_1 = 2\) và \(u_{n+1} = 3u_n - 1\) với mọi \(n \ge 1\). Số hạng \(u_3\) của dãy số là:
Giải thích:
Với \(n = 1 \Rightarrow u_2 = 3u_1 - 1 = 3(2) - 1 = 5\).
Với \(n = 2 \Rightarrow u_3 = 3u_2 - 1 = 3(5) - 1 = 14\).
Câu 3. Trong các dãy số \((u_n)\) cho bởi số hạng tổng quát sau đây, dãy số nào là **dãy số tăng**?
Giải thích: Xét \(u_{n+1} - u_n = (3^{n+1} - 1) - (3^n - 1) = 3^{n+1} - 3^n = 2 \cdot 3^n > 0\) với mọi \(n \ge 1\). Do đó dãy số \(u_n = 3^n - 1\) là dãy số tăng.
Câu 4. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{n^2 + 1}{n}\). Dãy số \((u_n)\) bị chặn dưới bởi số nào sau đây?
Giải thích: Ta có \(u_n = n + \frac{1}{n}\). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(n\) và \(\frac{1}{n}\), ta có \(u_n \ge 2\sqrt{n \cdot \frac{1}{n}} = 2\). Vậy dãy số bị chặn dưới bởi \(2\).
Câu 5. Cho dãy số \((u_n)\) có số hạng tổng quát \(u_n = 2n^2 - 3\). Số \(125\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
Giải thích: Ta giải phương trình \(u_n = 125 \Leftrightarrow 2n^2 - 3 = 125 \Leftrightarrow 2n^2 = 128 \Leftrightarrow n^2 = 64 \Rightarrow n = 8\) (vì \(n \in \mathbb{N}^*\)). Do đó \(125\) là số hạng thứ 8.
Câu 6. Phát biểu nào sau đây là **đúng** về dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\)?
Giải thích: Vì \(-1 \le \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \le 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), nên dãy số \((u_n)\) bị chặn trên bởi \(1\) và bị chặn dưới bởi \(-1\). Vậy dãy số bị chặn.
Câu 7. Mệnh đề nào sau đây **sai**?
Giải thích: Dãy số tăng là dãy có \(u_{n+1} > u_n\), còn dãy giảm có \(u_{n+1} < u_n\). Không tồn tại dãy số nào thỏa mãn đồng thời hai điều kiện này với mọi \(n\).
Câu 8. Cho dãy số \((u_n)\) có 5 số hạng đầu tiên là: \(1, 4, 9, 16, 25, \dots\). Công thức số hạng tổng quát \(u_n\) nào sau đây là phù hợp nhất?
Giải thích: Ta thấy \(u_1 = 1^2 = 1\), \(u_2 = 2^2 = 4\), \(u_3 = 3^2 = 9\), \(u_4 = 4^2 = 16\), \(u_5 = 5^2 = 25\). Do đó số hạng tổng quát là \(u_n = n^2\).
Câu 9. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = 1\) và \(u_{n+1} = u_n + 2n + 1\) với mọi \(n \ge 1\). Số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số theo \(n\) là:
Giải thích:
Tính vài số hạng đầu: \(u_1 = 1\), \(u_2 = 1 + 2(1) + 1 = 4\), \(u_3 = 4 + 2(2) + 1 = 9\), \(u_4 = 9 + 2(3) + 1 = 16\).
Có thể thấy các số hạng đều có dạng \(u_n = n^2\). Kiểm tra: \((n+1)^2 - n^2 = 2n + 1\), hoàn toàn phù hợp với công thức truy hồi đã cho.
Câu 10 Thực tế. Một người gửi tích lũy tiết kiệm vào ngân hàng số tiền \(100\) triệu đồng với lãi suất cố định \(6\%\)/năm. Lãi hàng năm được nhập vào vốn (lãi cộng dồn). Gọi \(u_n\) (triệu đồng) là tổng số tiền người đó có được sau \(n\) năm. Công thức số hạng tổng quát \(u_n\) và tổng số tiền sau \(5\) năm (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) lần lượt là:
Giải thích:
- Áp dụng công thức lãi kép: Sau $n$ năm, tổng số tiền thu được là \(u_n = T_0(1 + r)^n = 100 \cdot (1 + 0{,}06)^n = 100 \cdot (1{,}06)^n\) (triệu đồng).
- Thay \(n = 5\) ta có: \(u_5 = 100 \cdot (1{,}06)^5 \approx 133{,}82255 \approx 133{,}82\) triệu đồng.