📘 BÀI HỌC TOÁN 11: DÃY SỐ
👉Nhấn vào đây để xem VideoChương II: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân - Bài 5 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Khái niệm dãy số
Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập hợp các số nguyên dương \(\mathbb{N}^*\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).
• Kí hiệu: \((u_n)\) hoặc \(u_1, u_2, u_3, \dots, u_n, \dots\)
• Số \(u_1 = u(1)\) gọi là số hạng đầu.
• Số \(u_n = u(n)\) gọi là số hạng tổng quát (số hạng thứ \(n\)).
Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập hợp \(m\) số nguyên dương đầu tiên \(M = \{1, 2, 3, \dots, m\}\) (\(m \in \mathbb{N}^*\)) được gọi là một dãy số hữu hạn.
• Dạng khai triển: \(u_1, u_2, u_3, \dots, u_m\).
• \(u_1\) là số hạng đầu, \(u_m\) là số hạng cuối.
2. Các cách cho một dãy số
Một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:
a) Liệt kê các số hạng: (Dùng cho dãy số hữu hạn hoặc dãy số có quy luật rõ ràng)
Ví dụ: Dãy các số nguyên tố nhỏ hơn 10: \(2, 3, 5, 7\).
b) Cho bằng công thức của số hạng tổng quát \(u_n\):
Ví dụ: Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{n}{n + 1}\). Ta có thể tính ngay \(u_1 = \frac{1}{2}\), \(u_2 = \frac{2}{3}\),...
c) Cho bằng phương pháp truy hồi:
Cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu) và công thức tính \(u_n\) theo các số hạng đứng trước nó.
Ví dụ: Dãy Fibonacci: \(u_1 = 1, u_2 = 1\) và \(u_n = u_{n-1} + u_{n-2}\) với mọi \(n \ge 3\).
d) Cho bằng mô tả thuật toán hay quy tắc:
Ví dụ: Dãy số \((u_n)\) trong đó \(u_n\) là chữ số thập phân thứ \(n\) sau dấu phẩy của số \(\pi\).
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
• Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số tăng nếu \(u_{n+1} > u_n\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
• Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số giảm nếu \(u_{n+1} < u_n\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).
Cách 1: Xét hiệu \(K = u_{n+1} - u_n\)
• Nếu \(K > 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\) \(\Rightarrow\) Dãy số tăng.
• Nếu \(K < 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\) \(\Rightarrow\) Dãy số giảm.
Cách 2: Nếu \(u_n > 0\) với mọi \(n\), xét tỉ số \(T = \frac{u_{n+1}}{u_n}\)
• Nếu \(T > 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\) \(\Rightarrow\) Dãy số tăng.
• Nếu \(T < 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\) \(\Rightarrow\) Dãy số giảm.
4. Dãy số bị chặn
• Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số thực \(M\) sao cho:
\[ u_n \le M, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \]• Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số thực \(m\) sao cho:
\[ u_n \ge m, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \]• Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Nghĩa là tồn tại các số thực \(m, M\) sao cho:
\[ m \le u_n \le M, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \]5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi: \(u_1 = 2\) và \(u_n = 3u_{n-1} + 1\) với mọi \(n \ge 2\). Viết 4 số hạng đầu của dãy số.
• \(u_1 = 2\)
• \(u_2 = 3u_1 + 1 = 3 \cdot 2 + 1 = 7\)
• \(u_3 = 3u_2 + 1 = 3 \cdot 7 + 1 = 22\)
• \(u_4 = 3u_3 + 1 = 3 \cdot 22 + 1 = 67\)
Vậy 4 số hạng đầu của dãy số là: \(2, 7, 22, 67\).
Xét tính tăng, giảm của dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{2n - 1}{n + 1}\).
Xét hiệu \(u_{n+1} - u_n\):
Ta có \(u_{n+1} = \frac{2(n+1) - 1}{(n+1) + 1} = \frac{2n + 1}{n + 2}\).
\[ u_{n+1} - u_n = \frac{2n + 1}{n + 2} - \frac{2n - 1}{n + 1} = \frac{(2n + 1)(n + 1) - (2n - 1)(n + 2)}{(n + 2)(n + 1)} \] \[ = \frac{(2n^2 + 3n + 1) - (2n^2 + 3n - 2)}{(n + 2)(n + 1)} = \frac{3}{(n + 2)(n + 1)} \]Vì \(n \in \mathbb{N}^*\) nên \((n + 2)(n + 1) > 0 \Rightarrow u_{n+1} - u_n = \frac{3}{(n + 2)(n + 1)} > 0, \; \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Vậy \((u_n)\) là một dãy số tăng.
Chứng minh dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{n}{n^2 + 1}\) là một dãy số bị chặn.
• Vì \(n \in \mathbb{N}^*\) nên \(n > 0\) và \(n^2 + 1 > 0 \Rightarrow u_n = \frac{n}{n^2 + 1} > 0\). Suy ra \((u_n)\) bị chặn dưới bởi \(0\).
• Xét hiệu \(1 - u_n\):
\[ 1 - u_n = 1 - \frac{n}{n^2 + 1} = \frac{n^2 - n + 1}{n^2 + 1} = \frac{\left(n - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}}{n^2 + 1} > 0, \; \forall n \in \mathbb{N}^* \]\(\Rightarrow u_n < 1, \; \forall n \in \mathbb{N}^*\). Suy ra \((u_n)\) bị chặn trên bởi \(1\).
Vậy \(0 < u_n < 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), do đó dãy số \((u_n)\) bị chặn.
Bài 1: Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau:
a) \(u_n = \frac{(-1)^n}{2n + 1}\)
b) \(u_1 = 1, u_n = 2u_{n-1} + 3 \quad (n \ge 2)\)
Bài 2: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a) \(u_n = \frac{1}{3^n}\)
b) \(u_n = \frac{n + 2}{n + 1}\)
c) \(u_n = n - \sqrt{n^2 - 1}\)
Bài 3: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) \(u_n = \frac{2n + 1}{n + 3}\)
b) \(u_n = \sin\left(\frac{n\pi}{4}\right)\)