BÀI 5: DÃY SỐ
(SGK TOÁN 11 - KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG)

a) Dãy số \(u_n = 3n - 2\):

• Năm số hạng đầu:
  • \(u_1 = 3(1) - 2 = 1\)
  • \(u_2 = 3(2) - 2 = 4\)
  • \(u_3 = 3(3) - 2 = 7\)
  • \(u_4 = 3(4) - 2 = 10\)
  • \(u_5 = 3(5) - 2 = 13\)
• Số hạng thứ 100: \(u_{100} = 3(100) - 2 = 298\).

b) Dãy số \(u_n = 3 \cdot 2^n\):

• Năm số hạng đầu:
  • \(u_1 = 3 \cdot 2^1 = 6\)
  • \(u_2 = 3 \cdot 2^2 = 12\)
  • \(u_3 = 3 \cdot 2^3 = 24\)
  • \(u_4 = 3 \cdot 2^4 = 48\)
  • \(u_5 = 3 \cdot 2^5 = 96\)
• Số hạng thứ 100: \(u_{100} = 3 \cdot 2^{100}\).

c) Dãy số \(u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\):

• Năm số hạng đầu:
  • \(u_1 = \left(1 + \frac{1}{1}\right)^1 = 2\)
  • \(u_2 = \left(1 + \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\)
  • \(u_3 = \left(1 + \frac{1}{3}\right)^3 = \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27}\)
  • \(u_4 = \left(1 + \frac{1}{4}\right)^4 = \left(\frac{5}{4}\right)^4 = \frac{625}{256}\)
  • \(u_5 = \left(1 + \frac{1}{5}\right)^5 = \left(\frac{6}{5}\right)^5 = \frac{7776}{3125}\)
• Số hạng thứ 100: \(u_{100} = \left(1 + \frac{1}{100}\right)^{100} = \left(\frac{101}{100}\right)^{100}\).

a) Năm số hạng đầu của dãy số:

• \(u_1 = 1\)
• \(u_2 = 2 \cdot u_1 = 2 \cdot 1 = 2\)
• \(u_3 = 3 \cdot u_2 = 3 \cdot 2 = 6\)
• \(u_4 = 4 \cdot u_3 = 4 \cdot 6 = 24\)
• \(u_5 = 5 \cdot u_4 = 5 \cdot 24 = 120\)

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát \(u_n\):

Từ các số hạng đầu: \(u_1 = 1!\), \(u_2 = 2!\), \(u_3 = 3!\), \(u_4 = 4!\), \(u_5 = 5!\), ta dự đoán công thức tổng quát là:

a) Xét dãy số \(u_n = 2n - 1\):

Xét hiệu \(u_{n+1} - u_n\):

Do đó \(u_{n+1} > u_n\) với mọi \(n \ge 1\). Vậy đây là dãy số tăng.

b) Xét dãy số \(u_n = -3n + 2\):

Xét hiệu \(u_{n+1} - u_n\):

Do đó \(u_{n+1} < u_n\) với mọi \(n \ge 1\). Vậy đây là dãy số giảm.

c) Xét dãy số \(u_n = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n}\):

Viết vài số hạng đầu của dãy:

\(u_1 = \frac{1}{2}\), \(u_2 = -\frac{1}{4}\), \(u_3 = \frac{1}{8}\), \(u_4 = -\frac{1}{16}\), ...

Ta thấy \(u_1 > u_2\) (\(\frac{1}{2} > -\frac{1}{4}\)) nhưng \(u_2 < u_3\) (\(-\frac{1}{4} < \frac{1}{8}\)).

Do hiệu \(u_{n+1} - u_n\) đổi dấu tùy thuộc vào tính chẵn lẻ của \(n\) nên dãy số này không tăng cũng không giảm.

a) Dãy số \(u_n = n - 1\):

Vì \(n \ge 1 \Rightarrow n - 1 \ge 0\), nên \(u_n \ge 0\) với mọi \(n\). Do đó dãy số bị chặn dưới bởi 0.

Dãy không có cận trên vì khi \(n\) rất lớn thì \(n - 1\) tiến tới dương vô cực. Vậy dãy này không bị chặn trên, tức là không bị chặn.

b) Dãy số \(u_n = \frac{n + 1}{n + 2}\):

Ta có: \(u_n = \frac{n + 2 - 1}{n + 2} = 1 - \frac{1}{n + 2}\).

Vì \(n \ge 1\) nên \(0 < \frac{1}{n + 2} \le \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{2}{3} \le u_n < 1\).

Do đó \(\frac{2}{3} \le u_n < 1\) với mọi \(n\). Vậy dãy số này bị chặn (vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên).

c) Dãy số \(u_n = \sin n\):

Vì giá trị của hàm lượng giác sin luôn thỏa mãn \(-1 \le \sin n \le 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\) nên dãy số này bị chặn.

d) Dãy số \(u_n = (-1)^{n-1} n^2\):

Các số hạng mang dấu đan xen và có giá trị tuyệt đối \(n^2\) tăng lên vô hạn khi \(n\) lớn.

Do đó dãy số này không bị chặn dưới cũng không bị chặn trên, tức là không bị chặn.

a) Các số nguyên dương chia hết cho 3:

Các số nguyên dương chia hết cho 3 theo thứ tự tăng dần là: \(3, 6, 9, 12, \dots\)

Số hạng tổng quát của dãy số này là:

b) Các số nguyên dương khi chia cho 4 dư 1:

Các số nguyên dương chia cho 4 dư 1 theo thứ tự tăng dần là: \(1, 5, 9, 13, \dots\)

Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Lãi suất hàng tháng là: \(\frac{6\%}{12} = 0,5\% = 0,005\).

Công thức tính số tiền sau \(n\) tháng viết gọn là: \(A_n = 100(1 + 0,005)^n = 100(1,005)^n\).

a) Số tiền sau tháng thứ nhất và tháng thứ hai:

• Sau tháng thứ nhất (\(n = 1\)): \[A_1 = 100(1,005)^1 = 100,5 \text{ (triệu đồng)} \quad (= 100.500.000 \text{ đồng})\]
• Sau tháng thứ hai (\(n = 2\)): \[A_2 = 100(1,005)^2 = 100 \cdot 1,010025 = 101,0025 \text{ (triệu đồng)} \quad (= 101.002.500 \text{ đồng})\]

b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm:

1 năm có 12 tháng, ứng với \(n = 12\):

Vậy sau 1 năm, ông An nhận được khoảng 106,17 triệu đồng.

a) Tính lần lượt các số tiền còn nợ \(A_0, A_1, \dots, A_6\):

Lãi suất hàng tháng là \(0,8\% = 0,008\).

Số tiền còn nợ sau mỗi tháng bằng số tiền nợ tháng trước cộng với tiền lãi của tháng đó, sau đó trừ đi số tiền đã trả (2 triệu đồng):

• \(A_0 = 100\) (triệu đồng - số tiền ban đầu)
• \(A_1 = 100 \cdot 1,008 - 2 = 100,8 - 2 = 98,8\) (triệu đồng)
• \(A_2 = 98,8 \cdot 1,008 - 2 \approx 99,59 - 2 = 97,5904\) (triệu đồng)
• \(A_3 = 97,5904 \cdot 1,008 - 2 \approx 98,3711 - 2 = 96,3711\) (triệu đồng)
• \(A_4 = 96,3711 \cdot 1,008 - 2 \approx 95,1421 - 2 = 95,1421\) (triệu đồng)
• \(A_5 = 95,1421 \cdot 1,008 - 2 \approx 93,9032 - 2 = 93,9032\) (triệu đồng)
• \(A_6 = 93,9032 \cdot 1,008 - 2 \approx 92,6544 - 2 = 92,6544\) (triệu đồng)

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số \((A_n)\):

Hệ thức truy hồi biểu diễn số tiền nợ tháng thứ \(n\) qua số tiền nợ tháng thứ \(n-1\) là: