BÀI 2. CẤP SỐ CỘNG
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Tìm cấp số cộng trong các dãy số sau:
a) 1; −3; −7; −11; −15.
b) −1; −3; −6; −9; −12.
c) 1; −2; −4; −6; −8.
Giải
a) Dãy số 1; −3; −7; −11; −15 là cấp số cộng với công sai $d = -4$.
b) Ta có (−3) − (−1) = −2; (−6) − (−3) = −3. Vậy dãy số này không phải là cấp số cộng.
c) Ta có (−2) − 1 = −3; (−4) − (−2) = −2. Vậy dãy này không phải là cấp số cộng.
Cho cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1 = 9$ và công sai $d = 2$. Tìm $u_2$.
Giải
Ta có $u_2 = u_1 + d = 9 + 2 = 11$.
Cho cấp số cộng $(u_n)$ với số hạng đầu $u_1 = -5$ và công sai $d = 3$. Tìm $u_{10}$.
Giải
Ta có $u_{10} = u_1 + 9d = -5 + 9 \times 3 = 22$.
Cho cấp số cộng $(u_n)$, biết $\begin{cases} u_4 + 3u_5 = -34 \\[3pt] 3u_4 + 2u_5 = -21 \end{cases}$.
a) Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng $(u_n)$.
b) Tính tổng của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_n)$.
c) Tính $S = u_1 + u_2 + \dots + u_{24}$.
Giải
Ta giả thiết của bài toán, ta có hệ:
$\begin{cases} u_4 + 3u_5 = -34 \\ 3u_4 + 2u_5 = -21 \end{cases}$
Giải hệ, ta được $\begin{cases} u_1 = 2 \\ d = -3 \end{cases}$.
a) Số hạng thứ 100 của cấp số cộng $(u_n)$ là: $u_{100} = u_1 + 99d = 2 + 99 \times (-3) = -295$.
b) Tổng của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $(u_n)$ là:
$S_{15} = \dfrac{15(2u_1 + 14d)}{2} = \dfrac{15(2 \times 2 + 14 \times (-3))}{2} = -285.$
c) Ta có $S = u_1 + u_2 + \dots + u_{24} = \dfrac{24(u_1 + u_{24})}{2} = 12(u_1 + u_{24})$.
Vì $u_{24} = u_1 + 23d = 2 + 23 \times (-3) = -67$, nên $S = 12(2 - 67) = -780$.
Chú ý: Với Bài 4c, ta có thể thực hiện theo cách sau: $S_{30} - S_{15} = \dfrac{15(2u_{16} + 14d)}{2} = -1242.$
Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 950 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,5 m. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao bao nhiêu mét so với mực nước biển?
Giải
Kí hiệu $u_n$ là chiều cao so với mực nước biển của thửa ruộng ở bậc thứ $n$. Khi đó, dãy số $(u_n)$ là một cấp số cộng với $u_1 = 950$ và $d = 1,5$.
Ta có $u_{12} = u_1 + 11d = 950 + 11 \times 1,5 = 966,5$.
Vậy thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao 966,5 m so với mực nước biển.
