Bài Toán Ứng Dụng Cấp Số Cộng
Bài toán 1
Lan tiết kiệm được 100.000 đồng trong tháng đầu tiên và mỗi tháng sau đó cô tiết kiệm thêm 50.000 đồng so với tháng trước. Hỏi sau 6 tháng, tổng số tiền Lan tiết kiệm được là bao nhiêu?
Chuỗi tiết kiệm của Lan là cấp số cộng với:
- Tháng đầu tiên (a1) = 100.000 đồng
- Công sai (d) = 50.000 đồng
Ta tính tổng số tiền sau 6 tháng:
Công thức tổng cấp số cộng: \( S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n-1)d) \)
\( S_6 = \frac{6}{2} \times (2 \times 100.000 + (6-1) \times 50.000) \)
\( S_6 = 3 \times (200.000 + 5 \times 50.000) \)
\( S_6 = 3 \times (200.000 + 250.000) = 3 \times 450.000 = 1.350.000 \) đồng.
Đáp số: 1.350.000 đồng.
Bài toán 2
Một vận động viên chạy 100m trong lượt chạy đầu tiên và tăng thêm 10m cho mỗi lượt chạy tiếp theo. Hỏi sau 10 lượt chạy, tổng quãng đường mà vận động viên đã chạy được là bao nhiêu?
Chuỗi quãng đường là cấp số cộng với:
- Lượt chạy đầu tiên (a1) = 100m
- Công sai (d) = 10m
Công thức tổng cấp số cộng: \( S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n-1)d) \)
\( S_{10} = \frac{10}{2} \times (2 \times 100 + (10-1) \times 10) \)
\( S_{10} = 5 \times (200 + 90) \)
\( S_{10} = 5 \times 290 = 1450 \) mét.
Đáp số: 1450 mét.
Bài toán 3
Một cây cao 50cm và mỗi tháng cao thêm 20cm. Hỏi sau 8 tháng, cây cao bao nhiêu?
Chiều cao cây tăng theo cấp số cộng với:
- Chiều cao ban đầu (a1) = 50cm
- Công sai (d) = 20cm
Chiều cao sau 8 tháng là:
\( a_8 = a_1 + (n-1) \times d \)
\( a_8 = 50 + (8-1) \times 20 \)
\( a_8 = 50 + 7 \times 20 = 50 + 140 = 190 \) cm.
Đáp số: 190 cm.
Bài toán 4
Một người gửi tiết kiệm 1 triệu đồng, mỗi tháng sau gửi thêm 200.000 đồng. Hỏi sau 12 tháng, tổng số tiền đã gửi là bao nhiêu?
Chuỗi gửi tiền là cấp số cộng với:
- Tháng đầu (a1) = 1.000.000 đồng
- Công sai (d) = 200.000 đồng
Tổng tiền gửi sau 12 tháng:
\( S_{12} = \frac{12}{2} \times (2 \times 1.000.000 + (12-1) \times 200.000) \)
\( S_{12} = 6 \times (2.000.000 + 11 \times 200.000) \)
\( S_{12} = 6 \times (2.000.000 + 2.200.000) = 6 \times 4.200.000 = 25.200.000 \) đồng.
Đáp số: 25.200.000 đồng.
Bài toán 5
Một cầu thang có 15 bậc, mỗi bậc cao hơn bậc trước 20cm. Bậc đầu tiên cao 10cm. Hỏi bậc thứ 15 cao bao nhiêu?
Chiều cao các bậc cầu thang là cấp số cộng với:
- Bậc đầu tiên (a1) = 10cm
- Công sai (d) = 20cm
Chiều cao bậc thứ 15 là:
\( a_{15} = a_1 + (n-1) \times d \)
\( a_{15} = 10 + (15-1) \times 20 \)
\( a_{15} = 10 + 14 \times 20 = 10 + 280 = 290 \) cm.
Đáp số: 290 cm.
