BÀI 1. DÃY SỐ

⏳ Thời gian còn lại: 15:00

Câu 1. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_{n}=\dfrac{2n^{2}-1}{n^{2}+3}\). Số hạng thứ năm của dãy số là:

\(u_{5}=\tfrac{1}{4}\). \(u_{5}=\tfrac{17}{12}\). \(u_{5}=\tfrac{7}{4}\). \(u_{5}=\tfrac{3}{4}\).

\(u_5=\dfrac{2\cdot25-1}{25+3}=\dfrac{49}{28}=\dfrac{7}{4}.\)

Câu 2. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_{n}=\dfrac{n}{3^{n}-1}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là:

\(\tfrac{1}{2};\;\tfrac{1}{4};\;\tfrac{3}{26}\). \(\tfrac{1}{2};\;\tfrac{1}{4};\;\tfrac{1}{8}\). \(\tfrac{1}{2};\;\tfrac{1}{4};\;\tfrac{1}{16}\). \(\tfrac{1}{2};\;\tfrac{2}{3};\;\tfrac{3}{4}\).

\(u_1=\dfrac{1}{3-1}=\tfrac{1}{2},\;u_2=\dfrac{2}{9-1}=\tfrac{1}{4},\;u_3=\dfrac{3}{27-1}=\tfrac{3}{26}.\)

Câu 3. Cho \((u_n)\) là dãy số tăng. Khẳng định nào sau đây đúng?

\(u_{n+1}\le u_{n},\;\forall n\in\mathbb{N}^*\). \(u_{n+1}>u_n,\;\forall n\in\mathbb{N}^*\). \(u_{n+1}=u_n,\;\forall n\in\mathbb{N}^*\). \(u_{n+1}\ge u_n,\;\forall n\in\mathbb{N}^*\).

Dãy tăng (nghiêm ngặt) nghĩa là \(u_{n+1}>u_n\) với mọi \(n\), nên đáp án B.

Câu 4. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5;10;15;20;25. Số hạng tổng quát của dãy số là:

\(u_{n}=5n-5\). \(u_{n}=5+n\). \(u_{n}=5n+1\). \(u_{n}=5n\).

Dãy cộng với công sai 5 và \(u_1=5\) nên \(u_n=5n\).

Câu 5. Cho dãy số \((u_n)\) được xác định bởi \(u_1=3,\;u_{n+1}=u_n+2\). Số hạng thứ năm của dãy số là:

10. 11. 14. 12.

\(u_n=u_1+(n-1)\cdot2=3+2(n-1)\). Với \(n=5\): \(u_5=3+8=11\).

Câu 6. Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?

\((c_n)\) với \(c_n=\dfrac{n+4}{n+2}\). \((a_n)\) với \(a_n=3^{n}\). \((b_n)\) với \(b_n=\dfrac{n-3}{n+1}\). \((d_n)\) với \(d_n=n^{4}+2\).

Ta kiểm tra nhanh: \(c_n\) giảm (ví dụ: 5/3,1.5,1.4,…). Vì vậy chọn A.

Câu 7. Dãy số nào sau đây là dãy số tăng?

\((a_n)\) với \(a_n=(\tfrac{2}{3})^{n}\). \((b_n)\) với \(b_n=\dfrac{n}{n+1}\). \((c_n)\) với \(c_n=\dfrac{2}{n(n+1)}\). \((d_n)\) với \(d_n=\dfrac{n+1}{n}\).

\(b_n=\dfrac{n}{n+1}\) tăng (nâng dần đến 1). Do đó chọn B.

Câu 8. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n=3^{n}\). Số hạng \(u_{n+1}\) bằng:

\(3^{n}+1\). \(3^{n}+3\). \(3^{n}\cdot3\). \(3( n+1)\).

\(u_{n+1}=3^{n+1}=3^{n}\cdot3\).

Câu 9. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n=\dfrac{n^{2}+1}{2n+1}\). Hỏi \(\dfrac{37}{13}\) là số hạng thứ bao nhiêu?

8. 6. 5. 7.

Giải phương trình \(\dfrac{n^{2}+1}{2n+1}=\dfrac{37}{13}\) ⇒ \(13n^{2}-74n-24=0\) ⇒ nghiệm tự nhiên \(n=6\).

Câu 10. Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_{n}=\dfrac{3n-1}{3n+1}\) bị chặn trên bởi:

1. \(\tfrac{1}{3}\). \(\tfrac{1}{2}\). 0.

Khi n→∞, \(u_n\to1\) và mọi \(u_n<1\), nên bị chặn trên bởi 1.