BÀI 1. DÃY SỐ
Kí hiệu: \(\left(u_n\right),n\in\mathbb{N^*}\)
Dạng khai triển: \(u_1;u_2;...;u_n;...\)
\(u_1\) là số hạng đầu
\(u_n\) là số hạng tổng quát
Cách 1: Liệt kê các số hạng
Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát
Cách 3: Cho hệ thức truy hồi
Cách 4: Cho bằng cách mô tả
Nếu \( u_{n+1}-u_n>0,\forall n\in\mathbb{N^*}\) thì \(\left(u_n\right)\) tăng
Nếu \( u_{n+1}-u_n〈0,\forall n\in\mathbb{N^*}\) thì \(\left(u_n\right)\) giảm
Nếu \( u_n\le M,\forall n\in\mathbb{N^*}\) thì \(\left(u_n\right)\) bị chặn trên
Nếu \( u_n\ge m,\forall n\in\mathbb{N^*}\) thì \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới
Nếu \( m\le u_n\le M,\forall n\in\mathbb{N^*}\) thì \(\left(u_n\right)\) bị chặn
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Gọi $u_n$ là tổng diện tích các hình vuông có ở hàng thứ $n$ trong Hình 1 (mỗi ô vuông nhỏ là 1 đơn vị diện tích).
a) Tính $u_1, u_2, u_3, u_4.$
b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$.
Lời giải:
$u_1 = 1,\; u_2 = 8,\; u_3 = 27,\; u_4 = 64.$
Ta có: $u_1 = 1^3,\; u_2 = 2^3,\; u_3 = 3^3,\; u_4 = 4^3.$ Do đó, dự đoán $u_n = n^3.$
Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{3n+1}{n+2}$. Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đó.
Lời giải:
Năm số hạng đầu tiên của dãy số $(u_n)$ là:
$u_1 = \frac{3\cdot1+1}{1+2} = \frac{4}{3},\; u_2 = \frac{7}{4},\; u_3 = \frac{10}{5} = 2,\; u_4 = \frac{13}{6},\; u_5 = \frac{16}{7}.$
Cho dãy số $(u_n)$ có năm số hạng đầu tiên lần lượt là: $1, -1, 1, -1, 1.$ Hãy dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$.
Lời giải:
Năm số hạng đầu tiên của dãy số $(u_n)$ là:
$u_1 = (-1)^0,\; u_2 = (-1)^1,\; u_3 = (-1)^2,\; u_4 = (-1)^3,\; u_5 = (-1)^4.$
Do đó, dự đoán số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$ là $u_n = (-1)^{n-1}.$
Xét tính bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{2n+1}{n+2}.$
Lời giải:
Ta có $u_n = \frac{2n+1}{n+2} = 2 - \frac{3}{n+2},\; \forall n \in \mathbb{N}^*,$ suy ra $(u_n)$ bị chặn dưới.
Ta lại có $u_n = \frac{2n+1}{n+2} = 2 - \frac{3}{n+2} < 2,\; \forall n \in \mathbb{N}^*,$ suy ra $(u_n)$ bị chặn trên.
Dãy số $(u_n)$ vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới nên $(u_n)$ bị chặn.
Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{n+1}{n+2}.$
Lời giải:
Ta có $u_{n+1} - u_n = \frac{n+2}{n+3} - \frac{n+1}{n+2} = \frac{(n+2)^2 - (n+3)(n+1)}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{(n+2)(n+3)} > 0,\; \forall n \in \mathbb{N}^*.$
Suy ra $u_{n+1} > u_n,\; \forall n \in \mathbb{N}^*.$ Vậy $(u_n)$ là dãy số tăng.
Mặt khác, ta có $u_n = \frac{n+1}{n+2} > 0,\; \forall n \in \mathbb{N}^*,$ suy ra $(u_n)$ bị chặn dưới;
$u_n = 1 - \frac{1}{n+2} < 1,\; \forall n \in \mathbb{N}^*,$ suy ra $(u_n)$ bị chặn trên.
Ta thấy dãy số $(u_n)$ vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới nên $(u_n)$ bị chặn. Vậy $(u_n)$ là dãy số tăng và bị chặn.
