BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I - TOÁN 11 (KNTT)

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I - TOÁN 11

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (KNTT)

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN (12 CÂU)

Câu 1 (Nhận biết - Giá trị lượng giác): Góc có số đo \(\frac{\pi}{3}\) rad đổi sang độ là:

A. \(60^\circ\) B. \(30^\circ\) C. \(45^\circ\) D. \(90^\circ\)

Lời giải chi tiết:
Đổi từ radian sang độ: \(\alpha^\circ = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 60^\circ\).
Đáp án đúng: A

Câu 2 (Nhận biết - Giá trị lượng giác): Khẳng định nào sau đây là đúng với mọi góc \(\alpha\)?

A. \(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 1\) B. \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) C. \(\tan \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) D. \(\cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)

Lời giải chi tiết:
Theo công thức lượng giác cơ bản: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).
Đáp án đúng: B

Câu 3 (Thông hiểu - Giá trị lượng giác): Cho \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\). Tính \(\sin \alpha\).

A. \(\sin \alpha = -\frac{4}{5}\) B. \(\sin \alpha = \frac{16}{25}\) C. \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\) D. \(\sin \alpha = \frac{2}{5}\)

Lời giải chi tiết:
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) nên \(\sin \alpha > 0\).
\(\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}\).
Đáp án đúng: C

Câu 4 (Nhận biết - Công thức lượng giác): Công thức nào sau đây đúng?

A. \(\sin(a+b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\) B. \(\cos(a+b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\) C. \(\cos(a-b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\) D. \(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)

Lời giải chi tiết:
Công thức cộng: \(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\).
Đáp án đúng: D

Câu 5 (Nhận biết - Công thức lượng giác): Công thức nhân đôi nào sau đây là **sai**?

A. \(\sin 2a = 2\sin a \cos a\) B. \(\cos 2a = \cos^2 a + \sin^2 a\) C. \(\cos 2a = 2\cos^2 a - 1\) D. \(\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a\)

Lời giải chi tiết:
Công thức đúng là \(\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a\). Do đó phương án B sai.
Đáp án đúng: B

Câu 6 (Thông hiểu - Công thức lượng giác): Rút gọn biểu thức \(P = \cos(a-b) - \cos(a+b)\).

A. \(P = 2\sin a \sin b\) B. \(P = 2\cos a \cos b\) C. \(P = -2\sin a \sin b\) D. \(P = -2\cos a \cos b\)

Lời giải chi tiết:
\(\cos(a-b) - \cos(a+b) = (\cos a \cos b + \sin a \sin b) - (\cos a \cos b - \sin a \sin b) = 2\sin a \sin b\).
Đáp án đúng: A

Câu 7 (Nhận biết - Hàm số lượng giác): Tập xác định của hàm số \(y = \sin x\) là:

A. \([-1; 1]\) B. \(\mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\) C. \(\mathbb{R}\) D. \([0; +\infty)\)

Lời giải chi tiết:
Hàm số \(y = \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Đáp án đúng: C

Câu 8 (Nhận biết - Hàm số lượng giác): Tập giá trị của hàm số \(y = \cos x\) là:

A. \(\mathbb{R}\) B. \([0; 1]\) C. \((-\infty; 1]\) D. \([-1; 1]\)

Lời giải chi tiết:
Tập giá trị của hàm số \(y = \cos x\) là \([-1; 1]\).
Đáp án đúng: D

Câu 9 (Thông hiểu - Hàm số lượng giác): Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = 3\sin x - 2\).

A. \(M = 1\) B. \(M = 3\) C. \(M = 5\) D. \(M = -5\)

Lời giải chi tiết:
Vì \(-1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow -3 \le 3\sin x \le 3 \Rightarrow -5 \le 3\sin x - 2 \le 1\).
Giá trị lớn nhất \(M = 1\).
Đáp án đúng: A

Câu 10 (Nhận biết - Phương trình lượng giác): Nghiệm của phương trình \(\sin x = 0\) là:

A. \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\) B. \(x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\) C. \(x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\) D. \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)

Lời giải chi tiết:
Phương trình \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
Đáp án đúng: C

Câu 11 (Nhận biết - Phương trình lượng giác): Nghiệm của phương trình \(\cos x = 1\) là:

A. \(x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\) B. \(x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\) C. \(x = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\) D. \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)

Lời giải chi tiết:
Phương trình \(\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
Đáp án đúng: B

Câu 12 (Thông hiểu - Phương trình lượng giác): Số nghiệm của phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) trên đoạn \([0; 2\pi]\) là:

A. 1 B. 3 C. 4 D. 2

Lời giải chi tiết:
Trên đoạn \([0; 2\pi]\), phương trình có 2 nghiệm là \(x = \frac{\pi}{6}\) và \(x = \frac{5\pi}{6}\).
Đáp án đúng: D

PHẦN II: TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (4 CÂU)

Câu 1 (Thông hiểu - Giá trị lượng giác): Cho góc lượng giác \(\alpha\) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Xét tính đúng/sai của các phát biểu:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	\(\cos \alpha > 0\)
b	\(\cos \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
c	\(\tan \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{4}\)
d	\(\sin \left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) > 0\)

Lời giải chi tiết:
Vì \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) (Góc phần tư II):
a) **SAI**: Trong góc phần tư II, \(\cos \alpha < 0\).
b) **ĐÚNG**: \(\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\).
c) **ĐÚNG**: \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{\sqrt{2}}{4}\).
d) **SAI**: \(\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \alpha < 0\).
Đáp án: a-S, b-Đ, c-Đ, d-S

Câu 2 (Thông hiểu - Công thức lượng giác): Cho biểu thức \(A = \frac{\sin 2x + \sin x}{1 + \cos 2x + \cos x}\). Xét tính đúng/sai của các phát biểu:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	\(\sin 2x + \sin x = \sin x (2\cos x + 1)\)
b	\(1 + \cos 2x = 2\sin^2 x\)
c	Biểu thức rút gọn \(A = \tan x\)
d	Khi \(x = \frac{\pi}{4}\) thì \(A = \sqrt{2}\)

Lời giải chi tiết:
a) **ĐÚNG**: \(\sin 2x + \sin x = 2\sin x \cos x + \sin x = \sin x(2\cos x + 1)\).
b) **SAI**: Công thức đúng là \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\).
c) **ĐÚNG**: \(A = \frac{\sin x(2\cos x + 1)}{\cos x(2\cos x + 1)} = \tan x\).
d) **SAI**: Khi \(x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow A = \tan \frac{\pi}{4} = 1 \ne \sqrt{2}\).
Đáp án: a-Đ, b-S, c-Đ, d-S

Câu 3 (Thông hiểu - Hàm số lượng giác): Cho hàm số \(y = f(x) = 2\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 1\). Xét tính đúng/sai:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	Hàm số có chu kỳ tuần hoàn \(T = \pi\)
b	Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2
c	Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0
d	Đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left(\frac{\pi}{6}; 3\right)\)

Lời giải chi tiết:
a) **ĐÚNG**: Chu kỳ \(T = \frac{2\pi}{2} = \pi\).
b) **SAI**: \(\max y = 2(1) + 1 = 3\).
c) **SAI**: \(\min y = 2(-1) + 1 = -1\).
d) **ĐÚNG**: Thay \(x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow y = 2\cos(0) + 1 = 3\).
Đáp án: a-Đ, b-S, c-S, d-Đ

Câu 4 (Thông hiểu - Phương trình lượng giác): Cho phương trình \(\cos 2x = -\frac{1}{2}\). Xét tính đúng/sai:

Ý	Mệnh đề	Đúng	Sai
a	Phương trình tương đương với \(\cos 2x = \cos \frac{\pi}{3}\)
b	Phương trình có họ nghiệm \(x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\)
c	Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \frac{\pi}{6}\)
d	Trên đoạn \([0; \pi]\) phương trình có 2 nghiệm

Lời giải chi tiết:
a) **SAI**: \(\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\), không phải \(\cos \frac{\pi}{3}\).
b) **ĐÚNG**: \(2x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi\).
c) **SAI**: Nghiệm dương nhỏ nhất là \(x = \frac{\pi}{3}\).
d) **ĐÚNG**: Trên \([0; \pi]\) có 2 nghiệm là \(x = \frac{\pi}{3}\) và \(x = \frac{2\pi}{3}\).
Đáp án: a-S, b-Đ, c-S, d-Đ

PHẦN III: TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN (6 CÂU)

Câu 1 (Thông hiểu - Giá trị lượng giác): Cho \(\tan \alpha = 2\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{2\sin \alpha + 3\cos \alpha}{4\sin \alpha - \cos \alpha}\). (Nhập kết quả dạng phân số tối giản a/b)

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Chia cả tử và mẫu cho \(\cos \alpha \ne 0\):
\(P = \frac{2\tan \alpha + 3}{4\tan \alpha - 1} = \frac{2(2) + 3}{4(2) - 1} = \frac{7}{7} = 1\).
Kết quả: 1

Câu 2 (Thông hiểu - Công thức lượng giác): Tính giá trị của biểu thức \(A = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ\). (Nhập dưới dạng phân số a/b)

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Nhân hai vế với \(\sin 20^\circ\):
\(A \cdot \sin 20^\circ = \frac{1}{2} \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{4} \sin 80^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8} \sin 160^\circ\).
Vì \(\sin 160^\circ = \sin 20^\circ \Rightarrow A = \frac{1}{8}\).
Kết quả: 1/8 (hoặc 0.125)

Câu 3 (Thông hiểu - Hàm số lượng giác): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sin^2 x - 4\sin x + 5\).

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = \sin x, t \in [-1; 1]\). Hàm số trở thành \(y = t^2 - 4t + 5 = (t-2)^2 + 1\).
Vì \(t \in [-1; 1]\), hàm số nghịch biến trên \([-1; 1]\).
Do đó giá trị nhỏ nhất đạt được tại \(t = 1 \Rightarrow y = 1^2 - 4(1) + 5 = 2\).
Kết quả: 2

Câu 4 (Thực tế - Hàm số lượng giác): Hằng ngày, mực nước của con sông bãi bồi lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\) (mét) của mực nước theo thời gian \(t\) (giờ, \(0 \le t \le 24\)) được cho bởi công thức \(h = 3\cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) + 12\). Hỏi trong một ngày có mấy thời điểm mực nước đạt độ sâu lớn nhất?

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Độ sâu \(h\) đạt giá trị lớn nhất khi \(\cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = 1\).
\(\Leftrightarrow \frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} = k2\pi \Leftrightarrow t = 12k - 2 \quad (k \in \mathbb{Z})\).
Vì \(0 \le t \le 24 \Rightarrow k \in \{1, 2\}\) tương ứng với 2 thời điểm (\(t=10\) và \(t=22\)).
Kết quả: 2

Câu 5 (Thông hiểu - Phương trình lượng giác): Số nghiệm thuộc khoảng \((0; 3\pi)\) của phương trình \(\sqrt{3}\tan x - 1 = 0\) là bao nhiêu?

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
\(\sqrt{3}\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
Vì \(x \in (0; 3\pi) \Rightarrow k \in \{0, 1, 2\}\). Vậy có 3 nghiệm.
Kết quả: 3

Câu 6 (Thực tế - Phương trình lượng giác): Một con lắc đơn dao động điều hòa với phương trình vị trí góc \(\theta(t) = 0.1\cos\left(2\pi t - \frac{\pi}{4}\right)\) (rad), với \(t\) tính bằng giây. Trong 5 giây đầu tiên (kể từ \(t = 0\)), có bao nhiêu lần con lắc đi qua vị trí cân bằng (\(\theta = 0\))?

Trả lời:

Lời giải chi tiết:
Con lắc qua vị trí cân bằng khi \(\theta(t) = 0 \Leftrightarrow 2\pi t - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{3}{8} + \frac{k}{2}\).
Xét \(0 \le t \le 5 \Rightarrow -\frac{3}{4} \le k \le 9.25 \Rightarrow k \in \{0, 1, 2, ..., 9\}\) (có 10 giá trị).
Kết quả: 10