Câu 1. Nghiệm của phương trình \(\sin x = 1\) là:
Giải thích: Phương trình \(\sin x = 1\) là trường hợp đặc biệt, có nghiệm duy nhất dạng họ góc là \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})\).
Câu 2. Tất cả các nghiệm của phương trình \(\cos x = -\frac{1}{2}\) là:
Giải thích: Ta có \(\cos x = -\frac{1}{2} = \cos \frac{2\pi}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})\).
Câu 3. Giải phương trình lượng giác \(\tan x = \sqrt{3}\).
Giải thích: Ta có \(\tan x = \sqrt{3} = \tan \frac{\pi}{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi \ (k \in \mathbb{Z})\).
Câu 4. Số nghiệm của phương trình \(\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 0\) trên đoạn \([0; \pi]\) là:
Giải thích:
\(\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 0 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi}{4} = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \ (k \in \mathbb{Z})\).
Vì \(0 \le x \le \pi \Rightarrow 0 \le \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \le \pi \Leftrightarrow -\frac{1}{4} \le k \le \frac{7}{4}\).
Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{0; 1\}\), tương ứng có 2 nghiệm: \(x_1 = \frac{\pi}{8}\) và \(x_2 = \frac{5\pi}{8}\).
Câu 5. Phương trình nào sau đây **vô nghiệm**?
Giải thích: Vì tập giá trị của hàm số \(y = \cos x\) là \([-1; 1]\) mà \(\frac{4}{3} > 1\) nên phương trình \(\cos x = \frac{4}{3}\) vô nghiệm.
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\sin x = m - 1\) có nghiệm.
Giải thích: Phương trình \(\sin x = m - 1\) có nghiệm khi và chỉ khi \(-1 \le m - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\).
Câu 7. Phương trình \(\sqrt{3}\cot\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 0\) có họ nghiệm là:
Giải thích:
\(\sqrt{3}\cot\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cot\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \cot \frac{\pi}{3}\).
\(\Rightarrow x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi \ (k \in \mathbb{Z})\).
Câu 8. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\cos 2x = \frac{1}{2}\) thuộc khoảng \((0; \pi)\) bằng:
Giải thích:
\(\cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \ (k \in \mathbb{Z})\).
Các nghiệm thuộc khoảng \((0; \pi)\) là \(x_1 = \frac{\pi}{6}\) (với $k=0$) và \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\) (với $k=1$).
Tổng các nghiệm: \(S = \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = \pi\).