📘 BÀI HỌC TOÁN 11: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
👉Nhấn vào đây để xem VideoChương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Bài 2 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Phương trình \(\sin x = m\)
• Nếu \(|m| > 1\): Phương trình vô nghiệm.
• Nếu \(|m| \le 1\): Phương trình luôn có nghiệm. Chọn số thực \(\alpha\) sao cho \(\sin\alpha = m\), khi đó:
\[ \sin x = \sin\alpha \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]2. Phương trình \(\cos x = m\)
• Nếu \(|m| > 1\): Phương trình vô nghiệm.
• Nếu \(|m| \le 1\): Chọn số thực \(\alpha\) sao cho \(\cos\alpha = m\), khi đó:
\[ \cos x = \cos\alpha \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = -\alpha + k2\pi \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]3. Phương trình \(\tan x = m\)
• Điều kiện xác định: \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
• Phương trình \(\tan x = m\) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m \in \mathbb{R}\).
• Chọn số thực \(\alpha\) sao cho \(\tan\alpha = m\), khi đó:
\[ \tan x = \tan\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]4. Phương trình \(\cot x = m\)
• Điều kiện xác định: \(x \neq k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
• Phương trình \(\cot x = m\) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m \in \mathbb{R}\).
• Chọn số thực \(\alpha\) sao cho \(\cot\alpha = m\), khi đó:
\[ \cot x = \cot\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]5. Bảng tổng hợp & Trường hợp đặc biệt
| Giá trị \(m\) | \(\sin x = m\) | \(\cos x = m\) |
|---|---|---|
| \(m = 0\) | \(x = k\pi\) | \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) |
| \(m = 1\) | \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\) | \(x = k2\pi\) |
| \(m = -1\) | \(x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\) | \(x = \pi + k2\pi\) |
6. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \(\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
b) \(\cos\left(x + 30^\circ\right) = \cos 2x\)
a) Vì \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), nên phương trình trở thành:
\[ \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} \] \[ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ 2x - \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi \end{bmatrix} \] \[ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ 2x = \pi + k2\pi \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]b) Ta có:
\[ \cos 2x = \cos\left(x + 30^\circ\right) \Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2x = x + 30^\circ + k360^\circ \\ 2x = -(x + 30^\circ) + k360^\circ \end{bmatrix} \] \[ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 30^\circ + k360^\circ \\ 3x = -30^\circ + k360^\circ \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = 30^\circ + k360^\circ \\ x = -10^\circ + k120^\circ \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt{3}\tan\left(x + \frac{\pi}{6}\right) - 1 = 0\)
b) \(\sin x = \frac{1}{3}\)
a) Phương trình tương đương với:
\[ \tan\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \tan \frac{\pi}{6} \] \[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + k\pi \Leftrightarrow x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]b) Vì \(\frac{1}{3}\) không phải giá trị lượng giác của góc đặc biệt nên:
\[ \sin x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + k2\pi \end{bmatrix} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]Tìm số nghiệm của phương trình \(\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0\) trên khoảng \((0; 2\pi)\).
Phương trình tương đương:
\[ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]Vì \(x \in (0; 2\pi)\) nên:
\[ 0 < \frac{\pi}{4} + k\pi < 2\pi \Leftrightarrow -\frac{1}{4} < k < \frac{7}{4} \]Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{0; 1\}\).
• Với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}\)
• Với \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{5\pi}{4}\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm trên khoảng \((0; 2\pi)\).
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) \(\sin\left(3x + 15^\circ\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
b) \(\cos\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\)
c) \(\tan\left(2x\right) + \sqrt{3} = 0\)
d) \(\cot\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 2\)
Bài 2: Giải các phương trình có dạng biến đổi đưa về cơ bản:
a) \(\sin 2x - \cos x = 0\)
b) \(\cos^2 x - \sin^2 x = \frac{1}{2}\)
Bài 3: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình \(\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 0\) thuộc đoạn \([-\pi; \pi]\).