Giải Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản - Toán 11 KNTT

GIẢI BÀI TẬP SGK TOÁN 11 - KNTT Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1.20 (Trang 23): Giải các phương trình sau:[cite: 5]

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$2\cos x = -\sqrt{2}$;
$\sqrt{3}\tan\left(\frac{x}{2} + 15^\circ\right) = 1$;
$\cot(2x - 1) = \cot\frac{\pi}{5}$.

Lời giải:

a) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
- Ta có $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\frac{\pi}{3}$.
- Phương trình tương đương: $\sin x = \sin\frac{\pi}{3} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\\x = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\\x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi\end{array}\right. (k \in \mathbb{Z})$.
b) $2\cos x = -\sqrt{2}$:
- Phương trình tương đương: $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- Vì $-\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\frac{3\pi}{4}$, phương trình trở thành: $\cos x = \cos\frac{3\pi}{4} \Leftrightarrow x = \pm\frac{3\pi}{4} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
c) $\sqrt{3}\tan\left(\frac{x}{2} + 15^\circ\right) = 1$:
- Điều kiện: $\frac{x}{2} + 15^\circ \neq 90^\circ + k180^\circ \Leftrightarrow \frac{x}{2} \neq 75^\circ + k180^\circ \Leftrightarrow x \neq 150^\circ + k360^\circ$ ($k \in \mathbb{Z}$).
- Phương trình tương đương: $\tan\left(\frac{x}{2} + 15^\circ\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \tan 30^\circ$.
- $\Leftrightarrow \frac{x}{2} + 15^\circ = 30^\circ + k180^\circ \Leftrightarrow \frac{x}{2} = 15^\circ + k180^\circ \Leftrightarrow x = 30^\circ + k360^\circ$ ($k \in \mathbb{Z}$, thỏa mãn điều kiện).
d) $\cot(2x - 1) = \cot\frac{\pi}{5}$:
- Điều kiện: $2x - 1 \neq k\pi \Leftrightarrow x \neq \frac{1 + k\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$).
- Phương trình tương đương: $2x - 1 = \frac{\pi}{5} + k\pi \Leftrightarrow 2x = 1 + \frac{\pi}{5} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{10} + k\frac{\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Bài 1.21 (Trang 23): Giải các phương trình sau:[cite: 5]

$\sin 2x + \cos 4x = 0$;
$\cos 3x = -\cos 7x$.

Lời giải:

a) $\sin 2x + \cos 4x = 0$:
- Phương trình tương đương: $\cos 4x = -\sin 2x = \sin(-2x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - (-2x)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right)$.
- $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}4x = \frac{\pi}{2} + 2x + k2\pi\\4x = -\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) + k2\pi\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\\6x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{4} + k\pi\\x = -\frac{\pi}{12} + k\frac{\pi}{3}\end{array}\right.$ ($k \in \mathbb{Z}$).
b) $\cos 3x = -\cos 7x$:
- Biến đổi vế phải: $-\cos 7x = \cos(\pi - 7x)$.
- Phương trình tương đương: $\cos 3x = \cos(\pi - 7x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}3x = \pi - 7x + k2\pi\\3x = -(\pi - 7x) + k2\pi\end{array}\right.$.
- $\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}10x = \pi + k2\pi\\-4x = -\pi + k2\pi\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{10} + k\frac{\pi}{5}\\x = \frac{\pi}{4} - k\frac{\pi}{2}\end{array}\right.$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Bài 1.22 (Trang 23): Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu $v_0 = 500\text{ m/s}$ hợp với phương ngang một góc $\alpha$. Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình $y = \frac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2 + x\tan\alpha$, ở đó $g = 9,8\text{ m/s}^2$ là gia tốc trọng trường[cite: 5].

Tính theo góc bắn $\alpha$ tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất)[cite: 5].
Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo $22\ 000\text{ m}$[cite: 5].
Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn đạt độ cao lớn nhất[cite: 5].

Lời giải:

a) Tính tầm xa theo góc bắn $\alpha$:
- Quả đạn chạm đất khi chiều cao $y = 0$: $\frac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2 + x\tan\alpha = 0 \Leftrightarrow x\left(-\frac{gx}{2v_0^2\cos^2\alpha} + \tan\alpha\right) = 0$.
- Với $x > 0$ (vị trí chạm đất khác điểm xuất phát), ta có: $\frac{gx}{2v_0^2\cos^2\alpha} = \tan\alpha \Leftrightarrow x = \frac{2v_0^2\cos^2\alpha\tan\alpha}{g} = \frac{2v_0^2\cos^2\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{g} = \frac{v_0^2 \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{g} = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$.
- Vậy tầm xa của quả đạn là $d = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g} = \frac{500^2\sin 2\alpha}{9,8} = \frac{250000\sin 2\alpha}{9,8}\text{ (m)}$.
b) Tìm góc bắn $\alpha$ để trúng mục tiêu cách $22\ 000\text{ m}$:
- Theo câu a, ta có phương trình: $\frac{250000\sin 2\alpha}{9,8} = 22000 \Leftrightarrow \sin 2\alpha = \frac{22000 \cdot 9,8}{250000} = \frac{215600}{250000} = 0,8624$.
- Giải phương trình lượng giác: $\left[\begin{array}{l}2\alpha = \arcsin(0,8624) + k2\pi\\2\alpha = \pi - \arcsin(0,8624) + k2\pi\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\alpha \approx 29,8^\circ + k180^\circ\\\alpha \approx 60,2^\circ + k180^\circ\end{array}\right.$ ($k \in \mathbb{Z}$).
- Vì góc bắn thực tế nằm trong khoảng $(0^\circ; 90^\circ)$, ta chọn được hai góc bắn thỏa mãn là $\alpha \approx 29,8^\circ$ hoặc $\alpha \approx 60,2^\circ$.
c) Tìm góc bắn $\alpha$ để quả đạn đạt độ cao lớn nhất:
- Hàm quỹ đạo là parabol đỉnh có hoành độ $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-\tan\alpha}{2 \cdot \left(\frac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\right)} = \frac{v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{2g}$.
- Độ cao lớn nhất $y_{\max}$ đạt được tại đỉnh: $y_{\max} = \frac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\left(\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{2g}\right)^2 + \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{2g}\tan\alpha = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$.
- Để độ cao $y_{\max}$ đạt giá trị lớn nhất theo góc bắn $\alpha$, ta cần $\sin^2\alpha$ đạt giá trị lớn nhất.
- Vì $0 < \alpha < 90^\circ$, $\sin\alpha$ đạt giá trị lớn nhất bằng $1$ khi $\alpha = 90^\circ$. Tuy nhiên, nếu $\alpha = 90^\circ$ thì đạn bay thẳng đứng lên trời và rơi tại chỗ ($x = 0$). Nếu xét trong các góc bắn tạo tầm xa thực tế, góc bắn cho độ cao đỉnh quỹ đạo lớn nhất trong khi vẫn bay theo chiều ngang là $\alpha = 45^\circ$ (khi đó $\sin 2\alpha = 1$).

Bài 1.23 (Trang 23): Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình[cite: 5] $$x = 2\cos\left(5t - \frac{\pi}{6}\right)$$ Ở đây, thời gian $t$ tính bằng giây và quãng đường $x$ tính bằng centimet. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ $0$ đến $6$ giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?[cite: 5]

Lời giải:

Vị trí cân bằng của vật ứng với li độ $x = 0$.
Ta có phương trình: $2\cos\left(5t - \frac{\pi}{6}\right) = 0 \Leftrightarrow \cos\left(5t - \frac{\pi}{6}\right) = 0 \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Biến đổi tìm $t$: $5t = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + k\pi \Leftrightarrow 5t = \frac{2\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow t = \frac{2\pi}{15} + k\frac{\pi}{5}$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Theo đề bài, thời gian xét trong khoảng từ $0$ đến $6$ giây, tức là: $0 \le t \le 6 \Leftrightarrow 0 \le \frac{2\pi}{15} + k\frac{\pi}{5} \le 6$.
Giải bất phương trình trên đối với $k$:
- $-\frac{2\pi}{15} \le k\frac{\pi}{5} \le 6 - \frac{2\pi}{15} \Leftrightarrow -\frac{2}{3} \le k \le \frac{30 - \pi}{\pi / 5} = \frac{150 - 5\pi}{\pi}$.
- Vì $\pi \approx 3,14$, ta có: $-\frac{2}{3} \le k \le \frac{150 - 5(3,14)}{3,14} = \frac{134,3}{3,14} \approx 42,77$.
Vì $k \in \mathbb{Z}$ và $-\frac{2}{3} \le k \le 42,77$, nên các giá trị nguyên của $k$ nhận được chạy từ $k = 0$ đến $k = 42$.
Số lượng các giá trị của $k$ (tương ứng với số lần vật đi qua vị trí cân bằng) là: $42 - 0 + 1 = 43$ lần.
Kết luận: Trong khoảng thời gian từ $0$ đến $6$ giây, vật đi qua vị trí cân bằng tổng cộng $43$ lần.