Lời giải:

a) Hàm số xác định khi $\sin x-1\ne0\iff \sin x\ne1$. Ta có $\sin x=1$ khi $x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}$. Vậy tập xác định của hàm số: $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\}$.

b) Hàm $\tan$ xác định khi $\cos\big(x-\tfrac{\pi}{3}\big)\ne0$, tức $x-\tfrac{\pi}{3}\ne \tfrac{\pi}{2}+k\pi\iff x\ne \tfrac{\pi}{3}+\tfrac{\pi}{2}+k\pi$. Nói cách khác $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{5\pi}{6}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\}$.

Lời giải:

Hàm số xác định khi và chỉ khi $1-\sin x>0\iff \sin x<1$. Vì $\sin x\le1$ luôn, ta cần $\sin x\ne1$. $\sin x=1$ tại $x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$. Vậy tập xác định: $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\}$.

Lời giải:

a) $f(-x)=-2\sin(-x)=2\sin x=-f(x)\Rightarrow$ hàm lẻ.

b) $f(-x)=3\sin(-x)-2=-3\sin x-2\ne \pm f(x)$ nói chung. Vậy không chẵn, không lẻ.

c) $f(-x)=\cos(-x)+\sin^2(-x)=\cos x+\sin^2 x=f(x)\Rightarrow$ hàm chẵn.

d) $f(-x)=\sin(-x)-\cos(-x)=-\sin x-\cos x\ne \pm f(x)$ => không chẵn, không lẻ.

e) $f(-x)=\sin(-x)\cos^2(-x)+\tan(-x)=-\sin x\cos^2 x -\tan x = -(\sin x\cos^2 x +\tan x) = -f(x)\Rightarrow$ hàm lẻ.

f) Vì $|{-x}|=|x|$ nên $\cot|{-x}|=\cot|x|=f(x)\Rightarrow$ hàm chẵn.

Lời giải:

Ta quan sát khoảng $\big(\tfrac{11\pi}{2};\tfrac{13\pi}{2}\big)$ bằng cách trừ đi $6\pi$: $\big(\tfrac{11\pi}{2}-6\pi,\tfrac{13\pi}{2}-6\pi\big)=\big(-\tfrac{\pi}{2}+6\pi,\tfrac{\pi}{2}+6\pi\big)$. Trên khoảng $\big(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\big)$ hàm $\sin x$ là đồng biến. Do đó trên khoảng đã cho hàm $y=\sin x$ cũng đồng biến.

Lời giải:

Ta giảm khoảng theo $8\pi$: $\big(\tfrac{25\pi}{3}-8\pi,\tfrac{26\pi}{3}-8\pi\big)=\big(\tfrac{\pi}{3}+8\pi,\tfrac{2\pi}{3}+8\pi\big)$ (về cơ bản nằm trong một khoảng $\big(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}\big)$). Trên $\big(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{2\pi}{3}\big)$ cos giảm (nghịch biến). Vậy trên khoảng đã cho hàm $y=\cos x$ nghịch biến.

Lời giải:

Ta tính tương đương bằng cách trừ $4\pi$: $\big(\tfrac{9\pi}{2}-4\pi,\tfrac{11\pi}{2}-4\pi\big)=\big(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\big)$ (lưu ý: cần kiểm tra vị trí so với điểm kỳ dị). Trên khoảng $(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2})$ hàm $\tan x$ là đồng biến (trên mỗi khoảng xác định của nó). Vậy trên khoảng đã cho hàm $y=\tan x$ đồng biến.

Lời giải:

Tập xác định: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$. Vì $-1\le\cos4x\le1$, suy ra

$-3\le -3\cos4x\le 3 \implies 2\le 5-3\cos4x \le 8$. Vậy $\min y=2$ đạt khi $\cos4x=1\iff 4x=2k\pi\iff x=\tfrac{k\pi}{2}$. $\max y=8$ đạt khi $\cos4x=-1\iff 4x=\pi+2k\pi\iff x=\tfrac{\pi}{4}+ \tfrac{k\pi}{2}$.

Lời giải:

Tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}$. Vì $-1\le\cos x\le1$ nên $-3\le3\cos x\le3$. Do đó $-1\le y\le5$. Vậy $\min y=-1$ tại $\cos x=-1\iff x=\pi+2k\pi$, và $\max y=5$ tại $\cos x=1\iff x=2k\pi$.

Lời giải:

Tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}$. Vì $-1\le\sin2x\le1$ nên $-2\le -2\sin2x\le2$, do đó $1\le y\le5$. $\min y=1$ đạt khi $\sin2x=1\iff 2x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\iff x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi$. $\max y=5$ đạt khi $\sin2x=-1\iff 2x=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\iff x=\tfrac{3\pi}{4}+k\pi$.