Câu 1. Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = \frac{1}{\sin x}\) là:
Giải thích: Hàm số xác định khi và chỉ khi \(\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k\pi \ (k \in \mathbb{Z})\). Vậy \(D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}\).
Câu 2. Trong các hàm số lượng giác cơ bản, hàm số nào sau đây là **hàm số chẵn**?
Giải thích: Ta có \(\cos(-x) = \cos x\), do đó hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn. Các hàm số \(y = \sin x, y = \tan x, y = \cot x\) đều là hàm số lẻ.
Câu 3. Chu kỳ tuần hoàn \(T\) của hàm số \(y = \cos 2x\) là:
Giải thích: Hàm số \(y = \cos(\omega x + \varphi)\) có chu kỳ \(T = \frac{2\pi}{|\omega|}\). Với hàm số \(y = \cos 2x\) thì \(\omega = 2 \Rightarrow T = \frac{2\pi}{2} = \pi\).
Câu 4. Tìm tập giá trị \(T\) của hàm số \(y = 3\sin x - 2\).
Giải thích: Vì \(-1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow -3 \le 3\sin x \le 3 \Rightarrow -5 \le 3\sin x - 2 \le 1\). Vậy tập giá trị là \(T = [-5; 1]\).
Câu 5. Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Giải thích: Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên các khoảng \(\left(-\frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{2} + k2\pi\right)\), với \(k = 0\) thì khoảng đồng biến là \(\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\).
Câu 6. Tập xác định của hàm số \(y = \tan\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\) là:
Giải thích: Điều kiện xác định: \(x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \frac{3\pi}{4} + k\pi \ (k \in \mathbb{Z})\).
Câu 7. Giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = 4\sqrt{1 - \cos 2x} + 1\) là:
Giải thích: Vì \(-1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - \cos 2x \le 2 \Rightarrow 0 \le \sqrt{1 - \cos 2x} \le \sqrt{2}\).
Do đó \(y \le 4\sqrt{2} + 1\). Đẳng thức xảy ra khi \(\cos 2x = -1\). Vậy \(M = 4\sqrt{2} + 1\).
Câu 8. Đồ thị của hàm số nào sau đây nhận trục tung \(Oy\) làm trục đối xứng?
Giải thích: Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Trong các lựa chọn, hàm số \(y = \cos 3x\) là hàm số chẵn vì \(\cos(-3x) = \cos 3x\).
Câu 9. Mệnh đề nào dưới đây là **sai**?
Giải thích: Hàm số \(y = \cot x\) luôn **nghịch biến** trên mỗi khoảng $(k\pi; \pi + k\pi)$, do đó phát biểu "đồng biến" là sai.
Câu 10 Thực tế. Giả sử hằng ngày mực nước tại một cảng biển biến động theo thời gian \(t\) (giờ, với \(0 \le t \le 24\)) được mô hình hóa bởi hàm số lượng giác \(h(t) = 3\cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) + 12\) (mét). Chiều cao mực nước cao nhất (thủy triều lên đỉnh) đạt được trong ngày là bao nhiêu mét và lần đầu tiên đạt mực nước cao nhất vào lúc mấy giờ?
Giải thích:
- Chiều cao mực nước lớn nhất khi \(\cos\left(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3}\right) = 1 \Rightarrow h_{\max} = 3(1) + 12 = 15\text{ m}\).
- Đỉnh thủy triều đạt được khi \(\frac{\pi t}{6} + \frac{\pi}{3} = k2\pi \Leftrightarrow \frac{t}{6} + \frac{1}{3} = 2k \Leftrightarrow t = 12k - 2\).
- Vì \(0 \le t \le 24\), với \(k = 1\) ta được \(t = 12(1) - 2 = 10\text{ giờ}\).