📘 BÀI HỌC TOÁN 11: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Bài 1 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)
1. Định nghĩa và Tính chất tuần hoàn
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực \(x\) với giá trị lượng giác \(\sin x\) (tương tự với \(\cos x, \tan x, \cot x\)) được gọi là hàm số lượng giác.
• Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn: \(\cos(-x) = \cos x\). Đồ thị đối xứng qua trục tung \(Oy\).
• Các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) là hàm số lẻ. Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ \(O\).
• Hàm số \(y = \sin x\) và \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi\):
\[ \sin(x + k2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + k2\pi) = \cos x \quad (k \in \mathbb{Z}) \]• Hàm số \(y = \tan x\) và \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(T = \pi\):
\[ \tan(x + k\pi) = \tan x, \quad \cot(x + k\pi) = \cot x \quad (k \in \mathbb{Z}) \]2. Hàm số y = sin x và y = cos x
a) Hàm số \(y = \sin x\)
• Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
• Tập giá trị: \([-1; 1]\)
• Sự biến thiên: Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{2} + k2\pi\right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left(\frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{3\pi}{2} + k2\pi\right)\).
• Đồ thị: Là đường hình sin sóng lượn đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\).
b) Hàm số \(y = \cos x\)
• Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
• Tập giá trị: \([-1; 1]\)
• Sự biến thiên: Đồng biến trên mỗi khoảng \((-\pi + k2\pi; k2\pi)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \((k2\pi; \pi + k2\pi)\).
• Đồ thị: Là đường hình sin thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị \(y = \sin x\) sang trái một đoạn bằng \(\frac{\pi}{2}\).
3. Hàm số y = tan x và y = cot x
a) Hàm số \(y = \tan x\)
• Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z} \right\}\)
• Tập giá trị: \(\mathbb{R}\)
• Sự biến thiên: Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left(-\frac{\pi}{2} + k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi\right)\).
b) Hàm số \(y = \cot x\)
• Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}\)
• Tập giá trị: \(\mathbb{R}\)
• Sự biến thiên: Nghịch biến trên mỗi khoảng \((k\pi; \pi + k\pi)\).
4. Bảng tổng hợp tính chất 4 hàm số lượng giác
| Hàm số | Tập xác định \(D\) | Tập giá trị | Tính chẵn / lẻ | Chu kỳ tuần hoàn |
|---|---|---|---|---|
| \(y = \sin x\) | \(\mathbb{R}\) | \([-1; 1]\) | Lẻ | \(2\pi\) |
| \(y = \cos x\) | \(\mathbb{R}\) | \([-1; 1]\) | Chẵn | \(2\pi\) |
| \(y = \tan x\) | \(\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}\) | \(\mathbb{R}\) | Lẻ | \(\pi\) |
| \(y = \cot x\) | \(\mathbb{R} \setminus \{k\pi\}\) | \(\mathbb{R}\) | Lẻ | \(\pi\) |
5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{1}{\sin x}\)
b) \(y = \tan\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)\)
a) Biểu thức xác định khi \(\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).
b) Hàm số \(y = \tan u\) xác định khi \(u \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\). Do đó:
\[ 2x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow 2x \neq \frac{5\pi}{6} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \frac{5\pi}{12} + k\frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{12} + k\frac{\pi}{2} \;\middle|\; k \in \mathbb{Z} \right\}\).
Tìm tập giá trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: \(y = 3\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 2\)
Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta luôn có:
\[ -1 \le \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1 \] \[ \Leftrightarrow -3 \le 3\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 3 \] \[ \Leftrightarrow -3 + 2 \le 3\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 2 \le 3 + 2 \] \[ \Leftrightarrow -1 \le y \le 5 \]• Giá trị lớn nhất \(\max y = 5\), đạt được khi \(\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k2\pi\).
• Giá trị nhỏ nhất \(\min y = -1\), đạt được khi \(\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -1 \Leftrightarrow x = \frac{5\pi}{4} + k2\pi\).
Xét tính chẵn lẻ của hàm số \(f(x) = x \cdot \sin x\).
• Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) (đối xứng qua gốc tọa độ).
• Với mọi \(x \in D\), ta có \(-x \in D\) và:
\[ f(-x) = (-x) \cdot \sin(-x) = (-x) \cdot (-\sin x) = x \cdot \sin x = f(x) \]Vậy hàm số \(y = x \cdot \sin x\) là hàm số chẵn.
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{\cos x}{\sin x - 1}\)
b) \(y = \sqrt{1 + \cos x}\)
c) \(y = \cot\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\)
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của:
a) \(y = 2\sin^2 x - 3\)
b) \(y = \sqrt{3 - \sin 2x} + 1\)
Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số \(g(x) = \frac{\tan x}{x^2 + 1}\).