Bài 3. Hàm số lượng giác

Bài 3. Hàm số lượng giác

1.15. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
  1. \(y = \frac{1 - \cos x}{\sin x}\);
  2. \(y = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2 - \cos x}}\).
Lời giải:
  • a) Hàm số xác định khi mẫu số khác 0:
    \(\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
    Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).
  • b) Vì \(-1 \le \cos x \le 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có:
    • \(1 + \cos x \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
    • \(2 - \cos x \ge 2 - 1 = 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
    Do đó, biểu thức dưới căn \(\frac{1 + \cos x}{2 - \cos x} \ge 0\) luôn đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
    Vậy tập xác định là \(D = \mathbb{R}\).
1.16. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
  1. \(y = \sin 2x + \tan 2x\);
  2. \(y = \cos x + \sin^2 x\);
  3. \(y = \sin x \cos 2x\);
  4. \(y = \sin x + \cos x\).
Lời giải:
  • a) \(f(x) = \sin 2x + \tan 2x\):
    Tập xác định \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\) là tập đối xứng.
    \(f(-x) = \sin(-2x) + \tan(-2x) = -\sin 2x - \tan 2x = -(\sin 2x + \tan 2x) = -f(x)\).
    Vậy hàm số là hàm số lẻ.
  • b) \(f(x) = \cos x + \sin^2 x\):
    Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng.
    \(f(-x) = \cos(-x) + [\sin(-x)]^2 = \cos x + (-\sin x)^2 = \cos x + \sin^2 x = f(x)\).
    Vậy hàm số là hàm số chẵn.
  • c) \(f(x) = \sin x \cos 2x\):
    Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng.
    \(f(-x) = \sin(-x) \cos(-2x) = -\sin x \cos 2x = -f(x)\).
    Vậy hàm số là hàm số lẻ.
  • d) \(f(x) = \sin x + \cos x\):
    Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng.
    \(f(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin x + \cos x\).
    Ta thấy \(f(-x) \neq f(x)\) và \(f(-x) \neq -f(x)\).
    Vậy hàm số không chẵn, không lẻ.
1.17. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
  1. \(y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1\);
  2. \(y = \sqrt{1 + \cos x} - 2\).
Lời giải:
  • a) Ta có với mọi \(x \in \mathbb{R}\):
    \(-1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1\)
    \(\Leftrightarrow -2 \le 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 2\)
    \(\Leftrightarrow -3 \le 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 \le 1\).
    Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [-3; 1]\).
  • b) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\):
    \(-1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow 0 \le 1 + \cos x \le 2\)
    \(\Leftrightarrow 0 \le \sqrt{1 + \cos x} \le \sqrt{2}\)
    \(\Leftrightarrow -2 \le \sqrt{1 + \cos x} - 2 \le \sqrt{2} - 2\).
    Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [-2; \sqrt{2} - 2]\).
1.18. Từ đồ thị của hàm số \(y = \tan x\), hãy tìm các giá trị \(x\) sao cho \(\tan x = 0\).
Lời giải:
  • Trên đồ thị hàm số \(y = \tan x\), các điểm có tung độ bằng 0 (\(y = 0\)) chính là giao điểm của đồ thị với trục hoành \(Ox\).
  • Quan sát đồ thị, các giao điểm này xuất hiện định kỳ tại các gốc tọa độ và các điểm uốn có hoành độ là các bội nguyên của \(\pi\):
    \(x = \dots, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \dots\)
  • Kết luận: \(\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\).
1.19. Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hoá bởi hàm số \(h(t) = 90\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right)\), trong đó \(h(t)\) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm \(t\) giây.
  1. Tìm chu kì của sóng.
  2. Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.
Lời giải:
  • a) Tìm chu kì của sóng:
    Hàm số \(h(t) = 90\cos\left(\frac{\pi}{10}t\right)\) có dạng \(y = A\cos(\omega t)\) với \(\omega = \frac{\pi}{10}\).
    Chu kì của sóng là: \(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{10}} = 20\text{ (giây)}\).
  • b) Tìm chiều cao của sóng:
    Vì \(-1 \le \cos\left(\frac{\pi}{10}t\right) \le 1\) nên:
    • Độ cao đỉnh sóng (giá trị lớn nhất của \(h(t)\)): \(h_{\max} = 90\text{ cm}\).
    • Độ cao đáy sóng (giá trị nhỏ nhất của \(h(t)\)): \(h_{\min} = -90\text{ cm}\).
    Chiều cao của sóng là khoảng cách từ đáy đến đỉnh sóng:
    \(H = h_{\max} - h_{\min} = 90 - (-90) = 180\text{ cm}\).