BÀI 3. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Đáp án đúng là D. \[ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. \]

Ta có \(\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})=\sin\alpha\cos\frac{\pi}{3}+\cos\alpha\sin\frac{\pi}{3}\). Với \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\) và \(\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\), \[ \sin(\alpha+\tfrac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\tfrac{1}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{2}}{2}. \]

\(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\), \(\cos(\alpha-\tfrac{\pi}{6})=\cos\alpha\cos\tfrac{\pi}{6}+\sin\alpha\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\tfrac{1}{2}\sin\alpha\). Tổng là \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\tfrac{3}{2}\sin\alpha\).

Các công thức A, B, C đều đúng. Công thức D sai vì thực tế \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\), không bằng \(2\sin^2\alpha-1\).

\(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\tfrac{16}{25}-1=\tfrac{32}{25}-1=\tfrac{7}{25}.\)

\((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha\Rightarrow 2\sin\alpha\cos\alpha=\tfrac{25}{16}-1=\tfrac{9}{16}.\) Vậy \(\sin2\alpha=\tfrac{9}{16}.\)

Ta viết \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\), \(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\). Một cách nhanh: tử số = \(\sin\alpha(1+2\cos\alpha)\), mẫu = \(\cos\alpha(1+2\cos\alpha)\), nên biểu thức bằng \(\tan\alpha\).

Dùng công thức \(2\cos X\cos Y=\cos(X+Y)+\cos(X-Y)\) với \(X=\alpha+\beta, Y=\alpha-\beta\) cho \(=\cos2\alpha+\cos2\beta=2(\cos^2\alpha+\cos^2\beta)-2=2(\tfrac{1}{9}+\tfrac{1}{36})-2=-\tfrac{31}{18}.\)

Công thức đúng là \(\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\), vậy phương án D (viết thiếu dấu âm) là sai.

Dùng \(\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}\) và \(\sin X+\sin Y=2\sin\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2}\). Ta được \[ P=\frac{2\sin3\alpha\sin2\alpha}{2\sin3\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin2\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha. \]