Lời giải:

Vì $\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\dfrac{5}{13}$.
a) $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 2\left(\dfrac{25}{169}\right) - 1 = -\dfrac{119}{169}$.
b) $\sin(\alpha + \dfrac{\pi}{3}) = \sin\alpha\cos\dfrac{\pi}{3} + \cos\alpha\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{12}{13}\cdot\dfrac{1}{2} + \left(-\dfrac{5}{13}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{12 - 5\sqrt{3}}{26}$.
c) $\tan(\alpha + \dfrac{\pi}{4}) = \dfrac{\tan\alpha + 1}{1 - \tan\alpha} = \dfrac{\dfrac{12}{5} + 1}{1 - \dfrac{12}{5}} = -\dfrac{17}{7}$.

Lời giải:

$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = \dfrac{7}{25} \Rightarrow \cos^2\alpha = \dfrac{16}{25} \Rightarrow \cos\alpha = \dfrac{4}{5}$.
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = \dfrac{9}{25} \Rightarrow \sin\alpha = \dfrac{3}{5}$.
$\tan\alpha = \dfrac{3}{4}$, $\cot\alpha = \dfrac{4}{3}$.

Lời giải:

a) Dùng công thức hiệu – tổng sin: $\sin(60^\circ + \alpha) - \sin(60^\circ - \alpha) = 2\cos 60^\circ \sin\alpha = \sin\alpha$.

b) $\sin^2\alpha + \cos^4\alpha = \sin^2\alpha(1 - \sin^2\alpha) + \cos^4\alpha = \dfrac{1}{4} + \cos 4\alpha$.

c) $\sin 2\alpha(2\cos 4\alpha + 2\cos 2\alpha + 1) = \sin 5\alpha$. (Chứng minh chi tiết dùng công thức cộng: $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$)

d) Áp dụng công thức: $\tan(\alpha+\beta) = \dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$, $\tan(\alpha-\beta) = \dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$ → Biến đổi tương đương với hệ thức cần chứng minh.

Lời giải:

a) $\sin 3\alpha + \sin\alpha = 2\sin 2\alpha\cos\alpha$, còn $1+\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha$ $\Rightarrow \dfrac{\sin 3\alpha + \sin\alpha}{1+\cos 2\alpha} = \tan\alpha$.

b) $\sin(\dfrac{\pi}{4} + \alpha)\cos(\dfrac{\pi}{4} - \alpha) = \dfrac{1}{2}[\sin(\dfrac{\pi}{2}) + \sin 2\alpha] = \dfrac{1+\sin 2\alpha}{2}$.

c) $\dfrac{\sin^2\alpha}{4 - 4\sin^2\alpha} = \dfrac{\sin^2\alpha}{4\cos^2\alpha} = \dfrac{1}{4}\tan^2\alpha$.