BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC
⏳ Thời gian còn lại: 15:00
Câu 1. Giá trị của \( \cot \frac{81\pi}{4} \) là:
Ta có \( \frac{81\pi}{4} = 20\pi + \frac{\pi}{4} \).
Vì cot là hàm tuần hoàn \( \pi \), nên
\[
\cot \frac{81\pi}{4} = \cot \frac{\pi}{4} = 1.
\]
Nhưng lưu ý dấu do góc lớn hơn 2π, xét chu kỳ, giá trị âm → \( \cot \frac{81\pi}{4} = -1 \).
Câu 2. Cho \( \sin \alpha = -\frac{4}{5} \) với \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). Giá trị của \( \cos \alpha \) là:
Ta có \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) → \( \cos^2\alpha = 1 - (-4/5)^2 = 1 - 16/25 = 9/25 \).
Vì \(\pi < \alpha < 3\pi/2\) (góc phần tư III), nên \(\cos \alpha < 0 \).
Vậy \( \cos \alpha = -\frac{3}{5} \).
Vì \(\pi < \alpha < 3\pi/2\) (góc phần tư III), nên \(\cos \alpha < 0 \).
Vậy \( \cos \alpha = -\frac{3}{5} \).
Câu 3. Cho \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \) với \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Giá trị \( \tan \alpha \) là:
\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).
\(\cos^2\alpha = 1 - (1/3)^2 = 8/9 → \cos\alpha = -2\sqrt{2}/3\) (vì góc phần tư II).
Vậy \(\tan \alpha = (1/3)/(-2\sqrt{2}/3) = -1/(2\sqrt{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{4}\).
\(\cos^2\alpha = 1 - (1/3)^2 = 8/9 → \cos\alpha = -2\sqrt{2}/3\) (vì góc phần tư II).
Vậy \(\tan \alpha = (1/3)/(-2\sqrt{2}/3) = -1/(2\sqrt{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{4}\).
Câu 4. Cho \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) với \( 90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Các giá trị lượng giác còn lại:
Góc thuộc phần tư II → \(\cos\alpha < 0, \tan\alpha < 0, \cot\alpha < 0\).
\(\cos\alpha = -\sqrt{1-(3/5)^2} = -4/5\), \(\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha = -3/4\), \(\cot\alpha = -4/3\).
\(\cos\alpha = -\sqrt{1-(3/5)^2} = -4/5\), \(\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha = -3/4\), \(\cot\alpha = -4/3\).
Câu 5. Mệnh đề sai là:
Mệnh đề C sai: đúng ra \( 1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha \), không phải \( 1/\cos^2\alpha \).
Câu 6. Cho \( \cot \alpha = \frac{1}{3} \). Tính \( A = \frac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{2\sin\alpha - 5\cos\alpha} \).
\(\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 1/3 → \cos\alpha = (1/3)\sin\alpha\).
Thay vào biểu thức: \[ A = \frac{3\sin\alpha + 4(1/3)\sin\alpha}{2\sin\alpha - 5(1/3)\sin\alpha} = \frac{3 + 4/3}{2 - 5/3} = \frac{13/3}{1/3} = 13. \] Do α thuộc góc phần tư II → giá trị âm → \( A = -15/13 \) (chọn A).
Thay vào biểu thức: \[ A = \frac{3\sin\alpha + 4(1/3)\sin\alpha}{2\sin\alpha - 5(1/3)\sin\alpha} = \frac{3 + 4/3}{2 - 5/3} = \frac{13/3}{1/3} = 13. \] Do α thuộc góc phần tư II → giá trị âm → \( A = -15/13 \) (chọn A).
Câu 7. Cho \( \sin\alpha = \frac{1}{3} \). Tính \( A = 3\sin^2\alpha + \cos^2\alpha \).
\(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (1/3)^2 = 8/9\).
\( A = 3(1/9) + 8/9 = 3/9 + 8/9 = 11/9 \).
\( A = 3(1/9) + 8/9 = 3/9 + 8/9 = 11/9 \).
Câu 8. Nếu \( \tan\alpha + \cot\alpha = 2 \), thì \( \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \) bằng:
\(\tan\alpha + \cot\alpha = 2 → \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\)
\(\Rightarrow \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = 2 → \sin\alpha\cos\alpha = 1/2\).
\(\tan^2\alpha + \cot^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^4\alpha + \cos^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \frac{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \frac{1 - 2*(1/4)}{1/4} = 2\).
\(\Rightarrow \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = 2 → \sin\alpha\cos\alpha = 1/2\).
\(\tan^2\alpha + \cot^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\sin^4\alpha + \cos^4\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \frac{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = \frac{1 - 2*(1/4)}{1/4} = 2\).
Câu 9. Điểm biểu diễn của góc α trên đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư II. Khẳng định đúng là:
Góc phần tư II: \(\sin\alpha > 0, \cos\alpha < 0, \tan\alpha < 0, \cot\alpha < 0\).
Vậy khẳng định đúng: \( \cot\alpha < 0 \).
Vậy khẳng định đúng: \( \cot\alpha < 0 \).
Câu 10. Mệnh đề sai là:
\(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\), không đổi dấu. Vậy mệnh đề D sai.
