Câu 1. Khẳng định nào sau đây là **đúng** với mọi góc lượng giác \(a, b\)?
Giải thích: Theo công thức cộng đối với cosin: \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\).
Câu 2. Tính giá trị chính xác của biểu thức \(P = \sin 75^\circ\).
Giải thích: Ta có \(75^\circ = 45^\circ + 30^\circ\).
\(\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).
Câu 3. Công thức nào sau đây biểu diễn góc gấp đôi **sai**?
Giải thích: Công thức đúng là \(\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a\) hoặc \(\cos 2a = 2\cos^2 a - 1\). Do đó đẳng thức \(\cos 2a = 1 - 2\cos^2 a\) là sai.
Câu 4. Cho góc lượng giác \(a\) thỏa mãn \(\sin a = \frac{1}{3}\). Giá trị của \(\cos 2a\) bằng:
Giải thích: Áp dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a = 1 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\).
Câu 5. Rút gọn biểu thức \(A = \frac{\sin 2x + \sin x}{1 + \cos 2x + \cos x}\) (với điều kiện mẫu số khác 0) ta được:
Giải thích: Ta có \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\) và \(1 + \cos 2x = 2\cos^2 x\).
Do đó: \(A = \frac{2\sin x \cos x + \sin x}{2\cos^2 x + \cos x} = \frac{\sin x (2\cos x + 1)}{\cos x (2\cos x + 1)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x\).
Câu 6. Biến đổi biểu thức \(M = \cos 5x + \cos 3x\) thành tích ta được:
Giải thích: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích \(\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\):
\(M = 2\cos\frac{5x + 3x}{2}\cos\frac{5x - 3x}{2} = 2\cos 4x \cos x\).
Câu 7. Biết \(\tan a = 2\) và \(\tan b = 3\). Giá trị của \(\tan(a + b)\) là:
Giải thích: Áp dụng công thức cộng đối với tang: \(\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{-5} = -1\).
Câu 8. Đơn giản biểu thức \(N = 4\sin x \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right)\) ta được kết quả là:
Giải thích: Sử dụng công thức tích thành tổng cho hai thừa số sau:
\(\sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right) = \frac{1}{2}\left[\cos 2x - \cos \frac{2\pi}{3}\right] = \frac{1}{2}\left[\cos 2x + \frac{1}{2}\right]\).
Nên \(N = 4\sin x \cdot \frac{1}{2}\left(\cos 2x + \frac{1}{2}\right) = 2\sin x \cos 2x + \sin x = (\sin 3x - \sin x) + \sin x = \sin 3x\).
Câu 9. Giá trị của biểu thức \(S = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}\) bằng:
Giải thích: Nhân cả hai vế với \(\sin \frac{\pi}{7} \neq 0\):
\(S \cdot \sin \frac{\pi}{7} = \sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} = \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} = \frac{1}{4} \sin \frac{4\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} = \frac{1}{8} \sin \frac{8\pi}{7}\).
Vì \(\sin \frac{8\pi}{7} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{7}\right) = -\sin \frac{\pi}{7}\), nên \(S \cdot \sin \frac{\pi}{7} = -\frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{7} \Rightarrow S = -\frac{1}{8}\).
Câu 10 Thực tế. Dòng điện xoay chiều hình sin chạy qua một thiết bị điện có cường độ dòng điện tức thời phụ thuộc vào thời gian \(t\) (giây) theo công thức \(i(t) = 4\cos\left(100\pi t - \frac{\pi}{3}\right)\text{ (A)}\). Thiết bị điện hoạt động bình thường nếu cường độ dòng điện đạt mức hiệu dụng tuyệt đối \(|i(t)| \ge 2\sqrt{2}\text{ A}\). Bằng cách dùng công thức hạ bậc cho \(i^2(t)\), hãy xác định công suất tỉ lệ thuận với bình phương cường độ dòng điện trung bình \(i^2(t)\) có biểu thức dạng hạ bậc nào dưới đây?
Giải thích:
Ta có \(i(t) = 4\cos\left(100\pi t - \frac{\pi}{3}\right) \Rightarrow i^2(t) = 16\cos^2\left(100\pi t - \frac{\pi}{3}\right)\).
Áp dụng công thức hạ bậc \(\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\):
\(i^2(t) = 16 \cdot \frac{1 + \cos\left(200\pi t - \frac{2\pi}{3}\right)}{2} = 8 + 8\cos\left(200\pi t - \frac{2\pi}{3}\right)\).