Bài học Toán THPT - Công Thức Lượng Giác

📘 BÀI HỌC TOÁN 11: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Bài 2 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)

📚 Nội dung bài học

1. Công thức cộng

📌 Công thức cộng đối với Sin và Cosin: \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] \[ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \] \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \] \[ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \]
📌 Công thức cộng đối với Tang: \[ \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} \] \[ \tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \]
💡 Thần chú ghi nhớ:

• Sin: Sin thì sin cos cos sin, dấu cùng dấu với góc nguyên ban đầu.

• Cos: Cos thì cos cos sin sin, dấu thì đảo lại khác miền ban sơ.

• Tan: Tan một tổng bằng tổng hai tan chia cho 1 trừ tích tan.

2. Công thức nhân đôi và Công thức hạ bậc

📌 Công thức nhân đôi (Góc gấp đôi): \[ \sin 2a = 2\sin a \cos a \] \[ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a \] \[ \tan 2a = \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a} \]
📌 Công thức hạ bậc (Biến bậc 2 về bậc 1): \[ \sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2} \] \[ \cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2} \] \[ \tan^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{1 + \cos 2a} \]
💡 Ứng dụng: Công thức nhân đôi giúp thu gọn góc từ \(2a\) về \(a\), còn công thức hạ bậc rất quan trọng khi biến đổi biểu thức chứa bậc hai về dạng bậc nhất góc gấp đôi.

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

📌 Bộ công thức biến đổi Tích thành Tổng: \[ \cos a \cos b = \frac{1}{2} \left[ \cos(a - b) + \cos(a + b) \right] \] \[ \sin a \sin b = \frac{1}{2} \left[ \cos(a - b) - \cos(a + b) \right] \] \[ \sin a \cos b = \frac{1}{2} \left[ \sin(a - b) + \sin(a + b) \right] \]
💡 Cách nhớ nhanh:

• Cos nhân cos = một nửa (cos trừ + cos cộng).

• Sin nhân sin = một nửa (cos trừ - cos cộng).

• Sin nhân cos = một nửa (sin trừ + sin cộng).

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

📌 Bộ công thức biến đổi Tổng thành Tích: \[ \cos u + \cos v = 2 \cos \frac{u + v}{2} \cos \frac{u - v}{2} \] \[ \cos u - \cos v = -2 \sin \frac{u + v}{2} \sin \frac{u - v}{2} \] \[ \sin u + \sin v = 2 \sin \frac{u + v}{2} \cos \frac{u - v}{2} \] \[ \sin u - \sin v = 2 \cos \frac{u + v}{2} \sin \frac{u - v}{2} \]
💡 Thần chú biến đổi tổng thành tích:

• Cos cộng cos bằng 2 cos cos.

• Cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin.

• Sin cộng sin bằng 2 sin cos.

• Sin trừ sin bằng 2 cos sin.

5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện

Ví dụ 1 Vận dụng Công thức cộng tính giá trị chính xác

Tính giá trị chính xác của \(\cos 75^\circ\) và \(\sin 15^\circ\).

Lời giải:

• Phân tích góc \(75^\circ = 45^\circ + 30^\circ\). Áp dụng công thức cộng đối với Cosin:

\[ \cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ \] \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

• Phân tích góc \(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\). Áp dụng công thức cộng đối với Sin:

\[ \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \] \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]
Ví dụ 2 Rút gọn biểu thức bằng Công thức biến đổi

Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{\sin x + \sin 3x + \sin 5x}{\cos x + \cos 3x + \cos 5x}\)

Lời giải:

• Nhóm các số hạng đối xứng và dùng công thức biến đổi tổng thành tích:

Tử số: \((\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 2\sin 3x \cos 2x + \sin 3x = \sin 3x (2\cos 2x + 1)\)

Mẫu số: \((\cos 5x + \cos x) + \cos 3x = 2\cos 3x \cos 2x + \cos 3x = \cos 3x (2\cos 2x + 1)\)

• Thay vào biểu thức \(A\):

\[ A = \frac{\sin 3x (2\cos 2x + 1)}{\cos 3x (2\cos 2x + 1)} = \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x \]
Ví dụ 3 Áp dụng Công thức nhân đôi & Hạ bậc

Cho \(\cos x = \frac{1}{3}\). Tính giá trị của \(\cos 2x\) và \(\cos 4x\).

Lời giải:

• Áp dụng công thức nhân đôi cho \(\cos 2x\):

\[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{9} - 1 = -\frac{7}{9} \]

• Tiếp tục áp dụng công thức nhân đôi cho \(\cos 4x = \cos(2 \cdot 2x)\):

\[ \cos 4x = 2\cos^2 2x - 1 = 2 \cdot \left(-\frac{7}{9}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{49}{81} - 1 = \frac{98}{81} - 1 = \frac{17}{81} \]
Bài tập tự luyện:

Bài 1: Tính giá trị chính xác của các biểu thức sau:

a) \(A = \sin 105^\circ - \sin 15^\circ\)

b) \(B = \cos \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{5\pi}{12}\)

Bài 2: Cho \(\sin a = \frac{3}{5}\) (\(0 < a < \frac{\pi}{2}\)) và \(\cos b = -\frac{12}{13}\) (\(\frac{\pi}{2} < b < \pi\)). Tính \(\sin(a+b)\) và \(\cos(a-b)\).

Bài 3: Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:

\[ \frac{1 - \cos x + \sin x}{1 + \cos x + \sin x} = \tan \frac{x}{2} \]

Bài 4: Rút gọn biểu thức:

\[ P = \cos x + \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) + \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) \]