Bài 2. Công thức lượng giác

Bài 2. Công thức lượng giác

1.7. Sử dụng \(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\), hãy tính các giá trị lượng giác của góc \(15^\circ\).
Lời giải:
  • \(\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).
  • \(\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).
  • \(\tan 15^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2 - \sqrt{3}\).
  • \(\cot 15^\circ = \frac{1}{\tan 15^\circ} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}\).
1.8. Tính:
  1. \(\cos\left(a + \frac{\pi}{6}\right)\), biết \(\sin a = \frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\);
  2. \(\tan\left(a - \frac{\pi}{4}\right)\), biết \(\cos a = -\frac{1}{3}\) và \(\pi < a < \frac{3\pi}{2}\).
Lời giải:
  • a) Vì \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\) nên \(\cos a < 0\).
    \(\cos a = -\sqrt{1 - \sin^2 a} = -\sqrt{1 - \frac{1}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}\).
    \(\cos\left(a + \frac{\pi}{6}\right) = \cos a \cos \frac{\pi}{6} - \sin a \sin \frac{\pi}{6} = \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}\).
  • b) Vì \(\pi < a < \frac{3\pi}{2}\) nên \(\sin a < 0 \Rightarrow \tan a > 0\).
    \(\sin a = -\sqrt{1 - \cos^2 a} = -\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\).
    \(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-2\sqrt{2}/3}{-1/3} = 2\sqrt{2}\).
    \(\tan\left(a - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan a - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan a \tan \frac{\pi}{4}} = \frac{2\sqrt{2} - 1}{1 + 2\sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{2} - 1)(2\sqrt{2} - 1)}{8 - 1} = \frac{9 - 4\sqrt{2}}{7}\).
1.9. Tính \(\sin 2a, \cos 2a, \tan 2a\), biết:
  1. \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\);
  2. \(\sin a + \cos a = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{4}\).
Lời giải:
  • a) Vì \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\) nên \(\cos a < 0 \Rightarrow \cos a = -\sqrt{1 - \frac{1}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}\).
    • \(\sin 2a = 2 \sin a \cos a = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{2}}{9}\).
    • \(\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{7}{9}\).
    • \(\tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = -\frac{4\sqrt{2}}{7}\).
  • b) Bình phương hai vế: \((\sin a + \cos a)^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 + 2\sin a \cos a = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin 2a = -\frac{3}{4}\).
    Vì \(\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{4} \Rightarrow \pi < 2a < \frac{3\pi}{2}\) (thuộc góc phần tư III) nên \(\cos 2a < 0\).
    • \(\cos 2a = -\sqrt{1 - \sin^2 2a} = -\sqrt{1 - \frac{9}{16}} = -\frac{\sqrt{7}}{4}\).
    • \(\tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a} = \frac{-3/4}{-\sqrt{7}/4} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}\).
1.10. Tính giá trị của các biểu thức sau:
  1. \(A = \frac{\sin \frac{\pi}{15} \cos \frac{\pi}{10} + \sin \frac{\pi}{10} \cos \frac{\pi}{15}}{\cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{\pi}{5} - \sin \frac{2\pi}{15} \sin \frac{\pi}{5}}\);
  2. \(B = \sin \frac{\pi}{32} \cos \frac{\pi}{32} \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{8}\).
Lời giải:
  • a) Sử dụng công thức cộng:
    Tử số: \(\sin\left(\frac{\pi}{15} + \frac{\pi}{10}\right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\).
    Mẫu số: \(\cos\left(\frac{2\pi}{15} + \frac{\pi}{5}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\).
    Vậy \(A = \frac{1/2}{1/2} = 1\).
  • b) Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x\):
    \(B = \left(\sin \frac{\pi}{32} \cos \frac{\pi}{32}\right) \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{16} \cos \frac{\pi}{8}\)
    \(\phantom{B} = \frac{1}{4} \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{8} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{8} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{16}\).
1.11. Chứng minh đẳng thức sau: \[\sin(a + b)\sin(a - b) = \sin^2 a - \sin^2 b = \cos^2 b - \cos^2 a.\]
Lời giải:
  • Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng:
    \(\sin(a + b)\sin(a - b) = -\frac{1}{2}\left[\cos(2a) - \cos(2b)\right]\).
    Mà \(\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a\) và \(\cos 2b = 1 - 2\sin^2 b\):
    \(\Rightarrow -\frac{1}{2}\left[(1 - 2\sin^2 a) - (1 - 2\sin^2 b)\right] = -\frac{1}{2}(-2\sin^2 a + 2\sin^2 b) = \sin^2 a - \sin^2 b\).
  • Mặt khác: \(\sin^2 a - \sin^2 b = (1 - \cos^2 a) - (1 - \cos^2 b) = \cos^2 b - \cos^2 a\).
    Vậy \(\sin(a + b)\sin(a - b) = \sin^2 a - \sin^2 b = \cos^2 b - \cos^2 a\) (ĐPCM).
1.12. Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B} = 75^\circ\); \(\widehat{C} = 45^\circ\) và \(a = BC = 12\text{ cm}\).
  1. Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ab \sin C\) và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác \(ABC\) cho bởi công thức \(S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}\).
  2. Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\).
Lời giải:
  • a) Chứng minh công thức diện tích:
    Theo định lí sin: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow b = \frac{a \sin B}{\sin A}\).
    Thay \(b\) vào công thức \(S = \frac{1}{2}ab \sin C\), ta được:
    \(S = \frac{1}{2} a \left(\frac{a \sin B}{\sin A}\right) \sin C = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}\) (ĐPCM).
  • b) Tính diện tích \(S\):
    • Góc \(A = 180^\circ - (75^\circ + 45^\circ) = 60^\circ \Rightarrow \sin A = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
    • Biến đổi tử số: \(\sin B \sin C = \sin 75^\circ \sin 45^\circ = \frac{1}{2}\left[\cos(75^\circ - 45^\circ) - \cos(75^\circ + 45^\circ)\right] = \frac{1}{2}\left(\cos 30^\circ - \cos 120^\circ\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{4}\).
    • Thay các giá trị vào công thức:
    \(S = \frac{12^2 \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{4}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{144 \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{4}}{\sqrt{3}} = \frac{36(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3}} = 36 + 12\sqrt{3} \approx 56,78\text{ cm}^2\).
1.13. Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức \(x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\), trong đó \(t\) là thời điểm (tính bằng giây), \(x(t)\) là li độ của vật tại thời điểm \(t\), \(A\) là biên độ dao động (\(A > 0\)) và \(\varphi \in [-\pi; \pi]\) là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hoà có phương trình: \[x_1(t) = 2\cos\left(\frac{\pi}{3}t + \frac{\pi}{6}\right)\text{ (cm)},\] \[x_2(t) = 2\cos\left(\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{3}\right)\text{ (cm)}.\] Tìm dao động tổng hợp \(x(t) = x_1(t) + x_2(t)\) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.
Lời giải:
  • Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích \(\cos u + \cos v = 2 \cos \frac{u + v}{2} \cos \frac{u - v}{2}\):
    \(x(t) = x_1(t) + x_2(t) = 2\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}t + \frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{3}\right)\right]\).
  • Tính tổng và hiệu hai góc:
    • Nửa hiệu: \(\frac{\left(\frac{\pi}{3}t + \frac{\pi}{6}\right) - \left(\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{3}\right)}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}\).
    • Nửa tổng: \(\frac{\left(\frac{\pi}{3}t + \frac{\pi}{6}\right) + \left(\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{3}\right)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{6}}{2} = \frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{12}\).
  • Do đó:
    \(x(t) = 2 \cdot 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{12}\right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos\left(\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{12}\right) = 2\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{3}t - \frac{\pi}{12}\right)\text{ (cm)}\).
  • Kết luận:
    • Biên độ dao động tổng hợp là \(A = 2\sqrt{2}\text{ cm}\).
    • Pha ban đầu của dao động tổng hợp là \(\varphi = -\frac{\pi}{12}\text{ rad}\).