Câu 1. Mối liên hệ giữa số đo rađian và số đo độ của một góc lượng giác là \(\alpha\text{ rad} = \left(\frac{180}{\pi} \cdot \alpha\right)^\circ\). Đổi góc \(\alpha = \frac{3\pi}{4}\text{ rad}\) sang đơn vị độ ta được:
Giải thích: Ta có \(\alpha = \frac{3\pi}{4} \cdot \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ\).
Câu 2. Cho góc lượng giác \(\alpha\) thỏa mãn \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Khẳng định nào sau đây là **đúng**?
Giải thích: Khi \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), điểm biểu diễn góc \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ II trên đường tròn lượng giác. Do đó, tung độ \(y = \sin \alpha > 0\) và hoành độ \(x = \cos \alpha < 0\).
Câu 3. Giá trị của biểu thức \(P = \cos \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{6}\) bằng:
Giải thích: Ta có \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) và \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\). Do đó \(P = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\).
Câu 4. Cho góc \(\alpha\) tùy ý. Đẳng thức nào sau đây **sai**?
Giải thích: Đẳng thức đúng là \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), do đó đẳng thức \(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 1\) là sai.
Câu 5. Biết \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Giá trị của \(\cos \alpha\) là:
Giải thích: Ta có \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{4}{5}\).
Vì \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) nên \(\cos \alpha < 0\), do đó \(\cos \alpha = -\frac{4}{5}\).
Câu 6. Đơn giản biểu thức \(A = \sin(\pi - \alpha) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\), ta được:
Giải thích: Sử dụng các công thức góc có liên quan đặc biệt:
- \(\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha\)
- \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha\)
Suy ra \(A = \sin \alpha + \sin \alpha = 2\sin \alpha\).
Câu 7. Cho góc lượng giác \(\alpha\) thỏa mãn \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của biểu thức \(M = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha}\) bằng:
Giải thích: Chia cả tử và mẫu của \(M\) cho \(\cos \alpha\) (\(\cos \alpha \neq 0\)):
\(M = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 1}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - 1} = \frac{\tan \alpha + 1}{\tan \alpha - 1} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3\).
Câu 8. Giá trị của biểu thức \(N = \cos 10^\circ + \cos 20^\circ + \cos 160^\circ + \cos 170^\circ\) bằng:
Giải thích: Sử dụng công thức hai góc bù nhau \(\cos(180^\circ - x) = -\cos x\):
- \(\cos 170^\circ = \cos(180^\circ - 10^\circ) = -\cos 10^\circ\)
- \(\cos 160^\circ = \cos(180^\circ - 20^\circ) = -\cos 20^\circ\)
Do đó: \(N = \cos 10^\circ + \cos 20^\circ - \cos 20^\circ - \cos 10^\circ = 0\).
Câu 9. Điểm biểu diễn góc lượng giác \(\alpha = -\frac{11\pi}{4}\) trên đường tròn lượng giác trùng với điểm biểu diễn góc lượng giác nào dưới đây?
Giải thích: Ta có \(-\frac{11\pi}{4} = -3\pi + \frac{\pi}{4} = -4\pi + \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + (-2) \cdot 2\pi\).
Vì sai khác nhau một bội số nguyên của \(2\pi\) nên điểm biểu diễn của góc \(-\frac{11\pi}{4}\) trùng với điểm biểu diễn của góc \(\frac{5\pi}{4}\).
Câu 10 Thực tế. Một chiếc đu quay có bán kính \(10\text{ m}\) quay đều với tốc độ \(1\) vòng sau mỗi \(60\text{ giây}\). Giả sử chiếc đu quay quay theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Một cabin xuất phát từ điểm thấp nhất của vòng quay (vị trí góc \(-\frac{\pi}{2}\text{ rad}\)). Hỏi sau \(20\text{ giây}\) kể từ khi xuất phát, độ cao của cabin so với vị trí xuất phát ban đầu là bao nhiêu mét?
Giải thích:
- Tốc độ quay của đu quay là \(\omega = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30}\text{ rad/s}\).
- Sau \(20\text{ giây}\), góc quay được là \(\Delta \alpha = 20 \cdot \frac{\pi}{30} = \frac{2\pi}{3}\text{ rad}\).
- Vị trí góc lượng giác của cabin lúc này là \(\alpha = -\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6}\text{ rad}\).
- Tung độ vị trí cabin so với tâm đu quay là \(y = R \cdot \sin \frac{\pi}{6} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\text{ m}\).
- Tâm đu quay nằm ở độ cao \(10\text{ m}\) so với điểm xuất phát (điểm thấp nhất). Do đó, độ cao của cabin so với điểm xuất phát là \(h = 10 + y = 10 + 5 = 15\text{ m}\).