Bài học Toán THPT - Giá Trị Lượng Giác Của Góc Lượng Giác

📘 BÀI HỌC TOÁN 11: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Bài 1 (Bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống)

📚 Nội dung bài học

1. Góc lượng giác và Đơn vị đo góc

📌 Góc lượng giác:

• Trong mặt phẳng, cho hai tia \(OU, OV\). Khi tia \(OU\) quay quanh gốc \(O\) đến trùng với tia \(OV\) theo một chiều nhất định, ta nói nó quét nên một góc lượng giác có tia đầu là \(OU\) và tia cuối là \(OV\). Kí hiệu: \((OU, OV)\).

• Quy ước chiều quay: Quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều dương; quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

• Nếu một góc lượng giác có số đo là \(\alpha\) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối có số đo dạng:

\[ \alpha + k \cdot 360^\circ \quad \text{hoặc} \quad \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
💡 Đơn vị đo Ráđian (rad):

• Góc ở tâm chắn một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn đó gọi là góc có số đo 1 ráđian (viết tắt là 1 rad).

• Công thức chuyển đổi:

\[ 180^\circ = \pi \text{ rad} \Rightarrow 1^\circ = \displaystyle\frac{\pi}{180} \text{ rad}, \quad 1 \text{ rad} = \left(\displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^\circ \]

• Độ dài cung tròn: Cung tròn bán kính \(R\) có số đo \(\alpha\) rad có độ dài: \(l = R \cdot \alpha\).

2. Đường tròn lượng giác và Giá trị lượng giác

📌 Đường tròn lượng giác:

Là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R = 1\) nằm trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), gắn với điểm gốc \(A(1; 0)\) trên trục \(Ox\).

  • Trục hoành \(Ox\) gọi là trục côsin (trục \(\cos\)).
  • Trục tung \(Oy\) gọi là trục sin (trục \(\sin\)).
📌 Định nghĩa Giá trị lượng giác:

Giả sử điểm \(M(x; y)\) trên đường tròn lượng giác tương ứng với góc lượng giác có số đo \(\alpha\):

  • \(\cos \alpha = x\) (Hoành độ của điểm \(M\))
  • \(\sin \alpha = y\) (Tung độ của điểm \(M\))
  • \(\tan \alpha = \displaystyle\frac{y}{x} = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad (\text{với } \cos \alpha \neq 0)\)
  • \(\cot \alpha = \displaystyle\frac{x}{y} = \displaystyle\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \quad (\text{với } \sin \alpha \neq 0)\)
💡 Dấu của các giá trị lượng giác theo góc phần tư:
  • Góc phần tư I \(\left(0 < \alpha < \displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\): \(\sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0, \tan \alpha > 0, \cot \alpha > 0\).
  • Góc phần tư II \(\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\right)\): \(\sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0, \tan \alpha < 0, \cot \alpha < 0\).
  • Góc phần tư III \(\left(\pi < \alpha < \displaystyle\frac{3\pi}{2}\right)\): \(\sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0, \tan \alpha > 0, \cot \alpha > 0\).
  • Góc phần tư IV \(\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\right)\): \(\sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0, \tan \alpha < 0, \cot \alpha < 0\).

3. Các công thức lượng giác cơ bản

📌 5 Công thức lượng giác cơ bản cần nhớ: \[ 1) \quad \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ 2) \quad 1 + \tan^2 \alpha = \displaystyle\frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad \left(\alpha \neq \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi\right) \] \[ 3) \quad 1 + \cot^2 \alpha = \displaystyle\frac{1}{\sin^2 \alpha} \quad (\alpha \neq k\pi) \] \[ 4) \quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \quad \left(\alpha \neq k\displaystyle\frac{\pi}{2}\right) \] \[ 5) \quad -1 \le \sin \alpha \le 1; \quad -1 \le \cos \alpha \le 1 \]
💡 Mẹo tính toán: Khi biết một giá trị lượng giác và góc phần tư chứa \(\alpha\), ta có thể áp dụng hằng đẳng thức \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) và xét dấu tương ứng để tìm các giá trị còn lại.

4. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

📌 Thần chú nhớ nhanh: "Góc đối cos bằng, Góc bù sin bằng, Góc phụ chéo, Góc hơn kém \(\pi\) tan/cot bằng"

1. Góc đối nhau (\(\alpha\) và \(-\alpha\)):

\[ \cos(-\alpha) = \cos \alpha; \quad \sin(-\alpha) = -\sin \alpha; \quad \tan(-\alpha) = -\tan \alpha \]

2. Góc bù nhau (\(\alpha\) và \(\pi - \alpha\)):

\[ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha; \quad \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha; \quad \tan(\pi - \alpha) = -\tan \alpha \]

3. Góc hơn kém \(\pi\) (\(\alpha\) và \(\alpha + \pi\)):

\[ \sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha; \quad \cos(\alpha + \pi) = -\cos \alpha; \quad \tan(\alpha + \pi) = \tan \alpha \]

4. Góc phụ nhau (\(\alpha\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \alpha\)):

\[ \sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos \alpha; \quad \cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha \]

5. Ví dụ minh họa & Bài tập tự luyện

Ví dụ 1 Chuyển đổi đơn vị đo góc

a) Đổi góc \(135^\circ\) sang đơn vị ráđian.

b) Đổi góc \(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\) rad sang đơn vị độ.

Lời giải:

a) Ta có: \(135^\circ = 135 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{180} \text{ rad} = \displaystyle\frac{3\pi}{4} \text{ rad}\).

b) Ta có: \(\displaystyle\frac{5\pi}{6} \text{ rad} = \displaystyle\frac{5\pi}{6} \cdot \left(\displaystyle\frac{180}{\pi}\right)^\circ = \left(\displaystyle\frac{5 \cdot 180}{6}\right)^\circ = 150^\circ\).

Ví dụ 2 Tính các giá trị lượng giác khi biết một giá trị

Cho góc \(\alpha\) thỏa mãn \(\cos \alpha = -\displaystyle\frac{3}{5}\) và \(\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Tính \(\sin \alpha, \tan \alpha\) và \(\cot \alpha\).

Lời giải:

• Sử dụng công thức cơ bản: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

\[ \Rightarrow \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \displaystyle\frac{9}{25} = \displaystyle\frac{16}{25} \]

• Vì \(\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) (\(\alpha\) thuộc góc phần tư II) nên \(\sin \alpha > 0\). Do đó:

\[ \sin \alpha = \sqrt{\displaystyle\frac{16}{25}} = \displaystyle\frac{4}{5} \]

• Tính \(\tan \alpha\) và \(\cot \alpha\):

\[ \tan \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{4}{5}}{-\displaystyle\frac{3}{5}} = -\displaystyle\frac{4}{3} \] \[ \cot \alpha = \displaystyle\frac{1}{\tan \alpha} = -\displaystyle\frac{3}{4} \]
Ví dụ 3 Rút gọn biểu thức lượng giác

Rút gọn biểu thức: \(A = \sin(\pi - \alpha) + \cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \alpha\right) - \cos(\pi + \alpha)\)

Lời giải:

• Áp dụng các công thức góc liên quan đặc biệt:

  + \(\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha\)

  + \(\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin \alpha\)

  + \(\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha\)

• Thay vào biểu thức \(A\), ta được:

\[ A = \sin \alpha + \sin \alpha - (-\cos \alpha) = 2\sin \alpha + \cos \alpha \]
Bài tập tự luyện:

Bài 1: Chuyển đổi số đo của các góc sau:

a) \(210^\circ; -315^\circ\) sang đơn vị ráđian.

b) \(\displaystyle\frac{3\pi}{8}; -\displaystyle\frac{7\pi}{4}\) rad sang đơn vị độ.

Bài 2: Cho \(\sin \alpha = \displaystyle\frac{5}{13}\) với \(\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Tính \(\cos \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha\).

Bài 3: Cho \(\tan \alpha = 2\). Tính giá trị biểu thức: \(P = \displaystyle\frac{2\sin \alpha - 3\cos \alpha}{4\sin \alpha + 5\cos \alpha}\).

Bài 4: Rút gọn biểu thức:

\[ B = \displaystyle\frac{\sin(\alpha - \pi) \cdot \cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} - \alpha\right)}{\cos(\pi - \alpha) \cdot \tan(\pi + \alpha)} \]