Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Sử dụng công thức chuyển đổi: \(\alpha \text{ (rad)} = a^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}\) và \(a^\circ = \alpha \cdot \frac{180^\circ}{\pi}\).

• \(15^\circ = 15 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12}\) rad.
• \(\frac{3\pi}{8} \text{ rad} = \frac{3\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 67,5^\circ\) (hoặc \(67^\circ 30'\)).
• \(0^\circ = 0\) rad.
• \(900^\circ = 900 \cdot \frac{\pi}{180} = 5\pi\) rad.
• \(-\frac{7\pi}{12} \text{ rad} = -\frac{7\pi}{12} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -105^\circ\).
• \(-\frac{11\pi}{8} \text{ rad} = -\frac{11\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = -247,5^\circ\) (hoặc \(-247^\circ 30'\)).

Bảng hoàn chỉnh:

Công thức tính độ dài cung: \(l = R \cdot \alpha\) (với \(\alpha\) tính bằng radian).

• a) Với \(\alpha = \frac{\pi}{12}\): \(l = 20 \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{5\pi}{3} \approx 5,24\text{ cm}\).
• b) Với \(\alpha = 1,5\text{ rad}\): \(l = 20 \cdot 1,5 = 30\text{ cm}\).
• c) Đổi \(35^\circ = 35 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{36}\text{ rad}\) \(\Rightarrow l = 20 \cdot \frac{7\pi}{36} = \frac{35\pi}{9} \approx 12,22\text{ cm}\).
• d) Đổi \(315^\circ = 315 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{7\pi}{4}\text{ rad}\) \(\Rightarrow l = 20 \cdot \frac{7\pi}{4} = 35\pi \approx 109,96\text{ cm}\).

• a) Góc \(\frac{2\pi}{3}\): Điểm \(M\) nằm ở góc phần tư thứ II sao cho góc tới tia \(OM\) tạo với gốc \(A(1;0)\) một góc \(120^\circ\) ngược chiều kim đồng hồ. Tọa độ điểm \(M\left(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
• b) Góc \(-\frac{11\pi}{4} = -2\pi - \frac{3\pi}{4}\): Biểu diễn cùng điểm với góc \(-\frac{3\pi}{4}\). Điểm \(M\) nằm ở chính giữa góc phần tư thứ III. Tọa độ điểm \(M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
• c) Góc \(150^\circ = \frac{5\pi}{6}\): Điểm \(M\) nằm ở góc phần tư thứ II sao cho \(\widehat{AOM} = 150^\circ\) theo chiều dương. Tọa độ điểm \(M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)\).
• d) Góc \(-225^\circ = -180^\circ - 45^\circ\): Đi theo chiều âm (chiều kim đồng hồ) một góc \(225^\circ\). Điểm \(M\) nằm ở chính giữa góc phần tư thứ II, trùng với điểm biểu diễn góc \(135^\circ\). Tọa độ điểm \(M\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

• a) \(\cos \alpha = \frac{1}{5}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) (Góc phần tư I: \(\sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0, \tan \alpha > 0, \cot \alpha > 0\)):
  \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{2\sqrt{6}}{5}\).
  \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 2\sqrt{6}\); \(\quad \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}\).
• b) \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) và \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) (Góc phần tư II: \(\cos \alpha < 0, \tan \alpha < 0, \cot \alpha < 0\)):
  \(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \Rightarrow \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}\).
  \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\); \(\quad \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{\sqrt{5}}{2}\).
• c) \(\tan \alpha = \sqrt{5}\) và \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\) (Góc phần tư III: \(\sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0\)):
  \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\).
  \(\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \tan^2 \alpha = 1 + 5 = 6 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{6} \Rightarrow \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{6}} = -\frac{\sqrt{6}}{6}\).
  \(\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \sqrt{5} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) = -\frac{\sqrt{30}}{6}\).
• d) \(\cot \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) và \(\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\) (Góc phần tư IV: \(\sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0\)):
  \(\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = -\sqrt{2}\).
  \(\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + \cot^2 \alpha = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{2}{3} \Rightarrow \sin \alpha = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}\).
  \(\cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\tan \alpha} = \frac{-\sqrt{6}/3}{-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).

• a) Biến đổi VT:
  \(\text{VT} = \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)\).
  Vì \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\) và \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha\), ta có:
  \(\text{VT} = \cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1 = \text{VP}\) (ĐPCM).
• b) Biến đổi VT (với điều kiện \(\sin \alpha \neq 0, \cos \alpha \neq 0\)):
  \(\text{VT} = \frac{(\cos^2 \alpha - 1) + \tan^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{-\sin^2 \alpha + \tan^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}\).
  \(\text{VT} = \frac{-\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -1 + \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\sin^2 \alpha} = -1 + \frac{1}{\cos^2 \alpha}\).
  Mà \(1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \Rightarrow \frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \tan^2 \alpha\).
  Vậy \(\text{VT} = \tan^2 \alpha = \text{VP}\) (ĐPCM).

• a) Tính góc quay trong \(1\) giây:
  Trong \(1\) giây, số vòng bánh xe quay được là: \(\frac{11}{5} = 2,2\) (vòng).
  Mỗi vòng ứng với \(360^\circ\) hay \(2\pi\text{ rad}\).
  • Theo độ: \(\alpha = 2,2 \times 360^\circ = 792^\circ\).
  • Theo radian: \(\alpha = 2,2 \times 2\pi = 4,4\pi\text{ rad}\).
• b) Tính quãng đường đi được trong \(1\) phút:
  Đường kính bánh xe \(d = 680\text{ mm} = 0,68\text{ m} \Rightarrow R = 0,34\text{ m}\).
  Trong \(1\) phút (\(60\) giây), số vòng quay được là: \(2,2 \times 60 = 132\) (vòng).
  Tổng góc quay trong \(1\) phút là: \(\alpha_{\text{tổng}} = 132 \times 2\pi = 264\pi\text{ rad}\).
  Quãng đường đi được là: \(s = R \cdot \alpha_{\text{tổng}} = 0,34 \times 264\pi = 89,76\pi \approx 281,99\text{ m}\).