BÀI 4. BA ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Viết phương trình chính tắc của elip $(E)$ có tiêu cự $2c = 18$ và độ dài trục lớn $2a = 24$.
Giải:
Ta có: $2c = 18 \\Rightarrow c = 9$, $2a = 24 \\Rightarrow a = 12$.
Vì $b^2 = a^2 - c^2 = 12^2 - 9^2 = 63$.
Vậy phương trình chính tắc của elip $(E)$ là:
\[\frac{x^2}{144} + \frac{y^2}{63} = 1.\]
Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự $2c = 26$ và độ dài trục thực $2a = 24$.
Giải:
Ta có: $2c = 26 \\Rightarrow c = 13$, $2a = 24 \\Rightarrow a = 12$.
Vì $b^2 = c^2 - a^2 = 13^2 - 12^2 = 25$.
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là:
\[\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1.\]
Viết phương trình của parabol $(P)$ có tiêu điểm $F(3; 0)$.
Giải:
Parabol $(P)$ có tiêu điểm $F(3; 0)$ nên ta có $p = 2 \\times 3 = 6$.
Do đó, phương trình parabol là:
\[y^2 = 12x.\]
Một mái vòm nhà hát có mặt cắt là hình elip. Cho biết khoảng cách giữa hai tiêu điểm là $FF' = 50$m và chiều dài của đường đi của một tia sáng từ $F'$ đến mái vòm rồi phản chiếu về $F$ là $100$m. Hãy viết phương trình chính tắc của elip đó. (Hình 6)
Giải:
Ta có $FF' = 50 \\Rightarrow c = 25$.
Tổng khoảng cách $FM' + FM = 2a = 100 \\Rightarrow a = 50$.
Vì $b^2 = a^2 - c^2 = 50^2 - 25^2 = 1875$.
Vậy phương trình elip là:
\[\frac{x^2}{2500} + \frac{y^2}{1875} = 1.\]
Một tháp triển lãm có mặt cắt hình hypebol có phương trình $\frac{x^2}{18^2} - \frac{y^2}{36^2} = 1$. Biết chiều cao của tháp là 100 m và khoảng cách từ trục tháp đến đỉnh của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy tháp. Tính bán kính đáy và bán kính đỉnh của tháp. (Hình 7)
Giải:
Do tính đối xứng của hypebol nên ta có bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng $r$.
Do điểm $M(r; 50)$ nằm trên hypebol nên thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình ta được:
\[\frac{r^2}{18^2} - \frac{50^2}{36^2} = 1 \\Rightarrow r = 18 \sqrt{1 + \frac{50^2}{36^2}} \approx 31\,(\text{m}).\]
Vậy bán kính của nóc và đáy tháp bằng 31 m.
Cổng chào của một thành phố có dạng hình parabol có chiều cao $h = 25$m và khoảng cách giữa hai chân cổng là $d = 120$m. Hãy viết phương trình parabol của cổng chào. (Hình 8–9)
Giải:
Ta chọn hệ trục tọa độ như hình 9. Gọi parabol có phương trình dạng $y^2 = 2px$.
Tại điểm $M(25; 60)$ ta có $y = 25$, $x = 60$.
Thay vào phương trình, ta được:
\[25^2 = 2p \times 60 \\Rightarrow p = \frac{625}{120} = 72.\]
Vậy phương trình parabol $(P)$ là:
\[y^2 = 144x.\]
