BÀI 3. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
⏳ Thời gian còn lại: 15:00
Câu 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?
Để là phương trình đường tròn, hệ số \(x^2\) và \(y^2\) phải bằng nhau.
A và C có hệ số khác nhau (4 và 1; 1 và 2) ⇒ loại.
B và D có hệ số bằng nhau, nhưng B khi hoàn thành bình phương cho được \( (x-1)^2+(y-4)^2=-3\) (bán kính bình phương âm) ⇒ không có điểm thực. D cho được \( (x-2)^2+(y+3)^2=25\) ⇒ đường tròn thực.
⇒ Đáp án D.
Câu 2. Tọa độ tâm I và bán kính R của \( (C): (x - 1)^{2}+ (y + 3)^{2}= 16\) là:
Dạng chuẩn là \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\). Ở đây \(x_0=1,\; y_0=-3,\; R^2=16\) ⇒ \(R=4\).
⇒ Đáp án B.
Câu 3. Đường tròn \( x^{2} + y^{2} - 2x - 6y - 15 = 0\) có tâm và bán kính là:
Hoàn thành bình phương:
\(x^2-2x+1 + y^2-6y+9 -1-9-15=0\) ⇒ \((x-1)^2+(y-3)^2=25\).
Tâm I(1,3), \(R=5\). ⇒ Đáp án B.
Câu 4. Tâm I và bán kính R của \(16x^{2}+16y^{2}+16x - 8y - 11 = 0\) là:
Chia cho 16: \(x^2+y^2+x-\tfrac{1}{2}y-\tfrac{11}{16}=0\). Hoàn thành bình phương:
\((x+\tfrac{1}{2})^2 + (y-\tfrac{1}{4})^2 = 1\).
Vậy \(I(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4}),\; R=1\). ⇒ Đáp án D.
Câu 5. Phương trình đường tròn tâm O(0;0) và bán kính R = 2 là:
Tâm (0,0), bán kính 2 ⇒ \(x^2+y^2=2^2=4\). ⇒ Đáp án C.
Câu 6. (C) có tâm I(1; -5) và đi qua O(0;0). Phương trình là:
Phương trình chuẩn: \((x-1)^2+(y+5)^2=R^2\). Vì O(0,0) thuộc đường tròn ⇒ \(R^2=(1)^2+(-5)^2=26\).
⇒ Đáp án C.
Câu 7. Cho A(1;6), B(-3;2). Phương trình đường tròn đường kính AB là:
Trung điểm O' của AB là \( \big(\tfrac{1+(-3)}{2},\tfrac{6+2}{2}\big)=(-1,4)\). Bán kính^2 = \( (1-(-1))^2+(6-4)^2=4+4=8\).
Dạng: \((x+1)^2+(y-4)^2=8\) ⇒ mở ra: \(x^2+y^2+2x-8y+9=0\). ⇒ Đáp án A.
Câu 8. (C) tâm I(2; -3) tiếp xúc với trục Oy. Phương trình là:
Nếu đường tròn tiếp xúc trục Oy (x=0) thì bán kính = khoảng cách từ tâm đến trục Oy = |2-0| = 2.
Phương trình: \((x-2)^2+(y+3)^2=2^2=4\). ⇒ Đáp án C.
Câu 9. Với \( (C): x^{2}+ y^{2}- 2x - 4y + 1 = 0\). Phương trình tiếp tuyến tại M(3;2) là:
Hoàn thành bình phương: \((x-1)^2+(y-2)^2=4\) ⇒ tâm I(1,2). Vecto pháp tuyến tại M là IM = (2,0) ⇒ tiếp tuyến có phương trình \(2(x-3)=0\) ⇒ x-3=0. ⇒ Đáp án A.
Câu 10. Với \( (C): (x - 2)^{2}+ (y + 4)^{2}= 25\). Tiếp tuyến song song với d: 4x + 3y - 21 = 0 là:
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến (4,3). Các tiếp tuyến song song có dạng \(4x+3y+c=0\).
Khoảng cách từ tâm I(2,-4) đến đường thẳng phải bằng R=5:
\[
\frac{|4\cdot2 + 3\cdot(-4) + c|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5
\]
\(\Rightarrow \frac{|8-12+c|}{5}=5 ⇒ |c-4|=25 ⇒ c=29 \text{ hoặc } c=-21.\)
Vậy các tiếp tuyến là \(4x+3y+29=0\) và \(4x+3y-21=0.\) ⇒ Đáp án D.
