BÀI 3. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Viết phương trình đường tròn $(C)$ trong các trường hợp sau:
a) Có tâm $I(3; 2)$, bán kính $R = 7$;
b) Có tâm $J(-1; -1)$, bán kính $R = 5$.
Giải:
a) Đường tròn $(C)$ tâm $I(3; 2)$, bán kính $R = 7$ có phương trình:
\[(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 49.\]
b) Đường tròn $(C)$ tâm $J(-1; -1)$, bán kính $R = 5$ có phương trình:
\[(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 25.\]
Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$
b) $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 6 = 0$
c) $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 8 = 0$
Giải:
a) $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ (1)
Phương trình (1) có dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = 1$, $b = 2$, $c = -20$.
Ta có $a^2 + b^2 - c = 1 + 4 + 20 = 25 > 0$.
Vậy (1) là phương trình đường tròn tâm $I(1; 2)$, bán kính $R = 5$.
b) $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 6 = 0$ (2)
Phương trình (2) có dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = -1$, $b = 2$, $c = 6$.
Ta có $a^2 + b^2 - c = 1 + 4 - 6 = -1 < 0$.
Vậy (2) không phải là phương trình đường tròn.
c) $x^2 + y^2 - 4x - 8y - 8 = 0$ (3)
Phương trình (3) có dạng $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ với $a = 2$, $b = 4$, $c = -8$.
Ta có $a^2 + b^2 - c = 4 + 16 + 8 = 28 > 0$.
Vậy (3) là phương trình đường tròn tâm $I(2; 4)$, bán kính $R = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.
Viết phương trình tiếp tuyến $d$ với đường tròn $(C): (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$ tại điểm $M(5; 6)$.
Giải:
Ta có: $(5 - 1)^2 + (6 - 3)^2 = 25$, nên điểm $M$ thuộc đường tròn $(C)$.
Đường tròn $(C): (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$ có tâm $I(1; 3)$.
Phương trình tiếp tuyến $d$ với $(C)$ tại $M(5; 6)$ là:
\[(1 - 5)(x - 5) + (3 - 6)(y - 6) = 0\]
hay $4x + 3y - 38 = 0$.
Một nông trại tưới nước theo phương pháp phun với vòi phun quay quanh trụ tâm như hình 3. Cho biết tâm một vòi phun được đặt tại tọa độ $(12; -9)$ và vòi có thể phun xa tới 36 m. Hãy viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới. (Hình 3)
Giải:
Tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới là đường tròn có tâm $I(12; -9)$ và bán kính $R = 36$.
Phương trình của đường tròn là:
\[(x - 12)^2 + (y + 9)^2 = 36^2 = 1296.\]
